Переменных
Введем новый тип экстремумов. Для этого рассмотрим целевую функцию 
, для которой x и y будем считать связанными функциональной зависимостью j(x, y) = 0.
 |
Геометрический смысл такой ситуации по казан на рис. 22.1, из которого ясно, что в этом случае можно рассматривать новый тип экстремальной задачи: найти точку (
), лежащую на кривой j (x, y) = 0, в которой функция принимает максимальное (минимальное) значение. Такого рода экстремумы называют условными экстремумами.
Если уравнение j (x, y) = 0 разрешить относительно y, то поиск условного сведется к поиску обычного экстремума для функции 
. Однако такая процедура часто бывает нерациональной или невозможной. Поэтому для поиска условных экстремумов был разработан специальный алгоритм – метод множителей Лагранжа, который мы сейчас рассмотрим.
Продифференцируем как сложную функцию, помня, что 
:
Отсюда с помощью необходимого условия экстремума получаем
(4.22.1)
С другой стороны, х и у связаны функциональной зависимостью 
, с помощью которой находим
(4.22.2)
Сравнивая производные (4.22.1) и (4.22.2), получаем равенство
равносильное системе двух уравнений
(4.22.3)
относительно неизвестных х, у, l.
Введем так называемую функцию Лагранжа:
F(x, y, l)=f (x, y)+lj (x, y). (4.22.4)
Тогда необходимые условия экстремума для (4.22.4)
 |
приводят нас к уравнениям (4.22.3) и условию j (х, у) = 0. Решая эти три уравнения, мы найдем точку условного экстремума.
Таким образом, с помощью функции Лагранжа задача о поиске условного экстремума сводится к задаче о локальных экстремумах для функции Лагранжа.
Для общего случая, когда z = f 
,
функция Лагранжа строится по аналогии с (4.22.4):
П р и м е р
Найти кратчайшее расстояние от начала координат до кривой 
.
Целевая функция здесь имеет вид 
. Составляем функцию Лагранжа
,
а затем записываем необходимые условия локального экстремума:
(4.22.5)
Используя первые два уравнения системы (4.22.5), находим
.
Подставляем это выражение в последнее уравнение системы (4.22.5)
Интерпретация полученных результатов ясна из рис. 4.22.2: в первой точке целевая функция достигает максимума, а во второй – минимума, причем
;
Достаточные условия условного экстремума используются очень редко и в нашем курсе не рассматриваются.
Задание для самостоятельного решения
1. Найти экстремумы функции z = x3при условии
2. Найти экстремумы функции z = xy при условии 2х+3у=1.
Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 664;