Переводы целых чисел в позиционных системах счисления

С помощью позиционных систем с постоянными основаниями можно представить точно либо приближенно (с любой заданной точностью) любое вещественное число.

Из позиционных систем счисления проще всего двоичная, с основанием 2, где числа записываются с помощью символов из множества Е₂={0, 1}. Единица старшего разряда равна двум единицам предшествующего. Для записи числа в этой системе его разлагают по степеням основания 2. Например, для числа 125₁₀ = 1×2⁶ + 1×2⁵ +1×2⁴+ 1×2³ + 1×2² + 1×2⁰ = 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 1. Т. е. двоичная запись числа 125₁₀ имеет вид: 1111101₂. В силу своей простоты двоичная система нашла широкое применение в различного рода вычислительных и управляющих устройствах, так как для ее физической реализации достаточно обеспечить только два состояния логических элементов: «да — нет», «включено — выключено» и т. д. Двоичная система также служит модельной при исследовании структурных свойств множеств и логических объектов.

4.2.1. Перевод целых чисел из произвольной системы
с постоянным основанием р ¹ 10 в десятичную систему

Для выполнения данногопреобразования применяют развернутую форму представления целых двоичных чисел, т.е. искомое десятичное число представляют в виде суммы цифр числа, умноженных на степени основания p, равные номеру соответствующего разряда. После расчета слагаемых и их суммирования получается искомая десятичная запись числа.

Пример 1. Переведем в десятичную систему двоичное число 1101001₂.

Решение. Последовательно записываем разложение числа по степеням основания 2 (развернутая форма представления), выражаем полученные степени в десятичной системе и суммируем:

1101001₂ = 1×2⁶ + 1×2⁵ + 1×2³ + 1×2⁰ = 64₁₀ + 32₁₀ + 8₁₀ + 1₁₀ = 105₁₀.

Пример 2.Перевести в десятичную систему счисления число, представленное в шестнадцатеричной системе счисления как 8DВ4₁₆.

Решение. Записываем развернутую форму представления числа по степеням 16, выражаем полученные степени в десятичной системе счисления и суммируем:

8DВ4₁₆ =8×16³ +D×16² +B×16¹ +4×16⁰ =8×4096+13×256+
11×16+4=32768₁₀ +3328₁₀ +176₁₀ +4₁₀ =36276₁₀.

4.2.2. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления
в системы с произвольными постоянными основаниями p ¹ 10

Проще всего разложить десятичное число по степеням основания p последовательным многократным делением его на p. При этом остатки от деления на каждом шаге и самое последнее частное образуют обратную двоичную запись числа.

Пример 3.Перевести в двоичную систему число 23₁₀.

Решение. Последовательно делим заданное число и его частные на 2, выделяя подчеркиванием остатки от деления на каждом шаге и самое последнее частное:

23 ½ 2

22 ½ 11 ½ 2

110 ½ 5 ½ 2

14 ½ 2 ½ 2

12 ½ 1

0

Двоичную запись числа получаем, располагая подчеркнутые числа в обратном порядке: 23₁₀ =10111₂.

Пример 4. Перевести в шестнадцатеричную систему счисления число 8150₁₀.

Решение. Последовательно делим число и его частные на 16, выделяя остатки от деления и самое последнее частное:

8150 ½ 16

8144 ½ 509 ½ 16

6496 ½ 31 ½ 16

1316 ½ 1

15

Искомую запись числа получаем, переводя все подчеркнутые числа в шестнадцатеричную систему счисления (13₁₀ =D₁₆,15₁₀ =F₁₆) и располагая их в обратном порядке: 8150₁₀ =1FD6₁₆.

Пример 5. Перевести в систему счисления с основанием p = 7 число 5162₁₀.

Решение. Последовательно делим число и его частные на 7, выделяя остатки от деления и самое последнее частное:

5162 ½ 7

5159 ½ 737 ½ 7

3735 ½ 105 ½ 7

2105 ½ 15 ½ 7

014 ½ 2

1

Запись числа в системе p = 7 получаем, располагая все подчеркнутые числа в обратном порядке: 5162₁₀ = 21023₇.

4.2.3. Перевод целого числа из системы счисления
с основанием p = 2^s в двоичную систему счисления

Данные преобразования являются одними из наиболее распространенных при анализе числовой информации. Переходы между системами счисления с основаниями вида p = 2^s, являющимися степенями 2, проще (с наименьшим числом операций) выполнять через двоичную систему. Для быстрого перевода числа из системы с p = 2^s в двоичную все значащие цифры числа (в том числе и 0), стоящие в разрядах числа, заменяют их двоичными записями длины s. Если в самых старших разрядах записи (слева) оказались стоящие подряд нули, их можно отбросить, как незначащие.

Пример 6. Перевести в двоичную систему счисления число, представленное в восьмеричной системе счисления: 3076₈.

Решение. Так как 8=2³, то s = 3. Представляя по очереди цифры в разрядах числа их двоичными записями длины s = 3, получим: 3₈ =011₂, 0₈ =000₂,7₈ =111₂,6₈ =110₂.

Соединяя полученные двоичные выражения и отбрасывая незначащий нуль в первой записи, получим искомый ответ: 3076₈ =11000111110₂.

Пример 7. Перевести в двоичную систему счисления число, представленное в шестнадцатеричной системе счисления как 2А0D₁₆.

Решение. 16=2⁴, s = 4. Все цифры в разрядах числа поочередно заменяем их двоичными записями длины s = 4:

2₁₆ =0010₂,А₁₆ =1010₂,0₁₆ =0000₂,D₁₆ =1101₂.

Соединяя полученные двоичные выражения и отбрасывая незначащие нули в первой записи, получим: 2А0D₁₆ =10101000001101₂.

4.2.4. Перевод целого числа из двоичной системы счисления
в систему с основанием p = 2^s

При переводе целого числа все его цифры в разрядах двоичной записи числа, начиная с младших (стоящих справа), разбивают на группы длины s. Если последняя группа получилась длины, меньшей s, ее спереди дополняем незначащими нулями. Затем двоичные числа в полученных группах заменяют цифрами в системе с основанием p = 2^s и объединяют в одну запись, которая и является искомым выражением.

Пример 8.Перевести в шестнадцатеричную систему счисления двоичное число 1011010011₂.

Решение. 16=2⁴, s =4. Разбиение на группы длины s = 4 с дополнением первой группы из двух цифр двумя незначащими нулями дает следующие двоичные числа: 0010,1101,0011.

Заменяем их числами в шестнадцатеричной системе счисления: 0010₂ =2₁₆,1101₂ =D₁₆,0011₂ =3₁₆ и записываем слитно. В итоге получаем искомую запись числа: 1011010011₂ =2D3₁₆.

Пример 9.Перевести в четверичную систему счисления двоичное число 11101111000₂.

Решение. 4=2², s = 2. Разбиение на группы длины s = 2 с дополнением первой группы одним незначащим нулем дает следующие двоичные числа: 01,11,01,11,10,00.

Заменяем их числами в четверичной системе счисления: 01₂ =1₄,11₂ =3₄,01₂ =1₄,11₂ =3₄,10₂ =2₄,00₂ =0₄ и записываем слитно. В итоге получаем искомую четверичную запись числа: 11101111000₂ =131320₄.