Рассмотрим общие правила представления количественных величин в позиционных системах счисления.

Величина основания p равна количеству цифр, которые могут быть использованы в данной системе для записи числа в его разрядах. При необходимости ее указывают в конце записи числа в нижнем индексе. Множество цифр, используемых для записи чисел, называют алфавитом позиционной системы счисления. Поскольку десятичную систему исчисления европейцы позаимствовали в средние века у арабов, то ее алфавит – множество цифр {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} – называют арабскими цифрами. В основе десятичной системы лежит счет на пальцах.

По принятому в математике соглашению для позиционных систем с основанием p при p < 10 алфавитом являются начальные арабские цифры от 0 до (p –1). Например, в системе с основанием 8 алфавитом является множество {0;1;2;3;4;5;6;7}.

Если же p > 10, то к арабским цифрам добавляют необходимое число начальных букв латинского алфавита. Так, в системе с p = 12 алфавитом будет множество {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;A;B}. Из систем с основаниями p > 10 наиболее употребительной является шестнадцатеричная. В ней для записи значений цифр в разрядах используются целые величины от 0 до (p – 1) = 15. Старшие значения шестнадцатеричных цифр {10,11,12,13,14,15}, которым нет аналогов в арабских цифрах, кодируются по общему правилу, соответственно, шестью первыми начальными буквами латинского алфавита {A,B,C,D,E,F} – обычно допускается равноправное использование как больших, так и малых букв.

Для целых чисел в позиционной системе с основанием p вес (стоимость) одной единицы, помещенной в разряд с номером k, равна p^k. Запись вида A_p = a_k...a₂a₁a₀ в системе с основанием p означает число, равное сумме

A = a_kp^k + ... + a₂p² + a₁p¹ + a₀p⁰.

Данное выражение называют развернутой формой представления целых чисел в позиционной системе счисления.

Пример 1.Запись вида А₁₀ =295₁₀ в десятичной системе (p = 10), означает целое число, равное A = 2×10² +9×10¹ +5×10⁰.

Для компьютеров в настоящее время стандартом является двоичная система представления чисел (p = 2¹), в которой элементарная единица памяти (бит) может принимать только два возможных состояния, обычно кодируемые нулем и единицей.

В непозиционных системах счисления значение цифры в записи числа не зависит от номера разряда, в котором она находится.

Например, в непозиционной римской системе счисления в качестве цифр использованы буквы латинского алфавита. Приведем их обозначения и величины в десятичной системе:

I=1;V=5;X=10;L=50;C=100;D=500.

Расшифровка записи чисел в римской системе производится следующим образом. При расположении цифр по невозрастанию слева направо общее число равно сумме всех своих цифр в записи. Если же меньшее число в ней стоит левее большего, то меньшее входит в общую сумму со знаком минус.

Пример 2. CХХVII=100+10+10+5+1+1=127;

CХLIV=100–10+50–1+5=144.

Поскольку сегодня наиболее привычной является десятичная система счисления, то для оценки величин чисел их представляют в данной системе.