II. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. КОМБИНАТОРИКА

В. 1. 1. Перевести в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и факториальную системы счисления число 659₁₀.

2. Сколько трехзначных десятичных чисел (в том числе – с незначащими нулями) имеют в своей записи: а) ровно две одинаковых цифры, б) ровно три одинаковых цифры?.

В. 2 1. Перевести в системы счисления с основанием 2, 4, 8, 16 и 10 число 512110_ф.

2. Имеется 8 объектов, из которых 2 - одинаковые, остальные попарно различны. Найти, сколькими вариантами можно расположить их на 9 местах.

В. 3. 1. Выполнить действия в системе счисления c основанием 8: 3576₈ + 34657₈ ; 3753₈ - 7571₈ ; 572₈´374₈ .

2. На 12 возможных местах необходимо разместить 2 станка типа А. 3 станка типа Б и 4 станка типа В. Сколько всего существует различных вариантов расположения? Ответ дать формулой.

В. 4. 1. Перевести, используя минимальное число операций, в системы счисления с основаниями 2, 4, 8, 16 число 1111₁₀ .

2. Какое минимально возможное количество n различных объектов необходимо взять, чтобы они располагались на n местах не менее, чем 1000 различными вариантами.

В. 5. 1. Выполнить действия в системе счисления c основанием 5: 43₅³ ; 2412₅ : 30₅ ; 231₅ ´ 42₅ .

2. Кодировка некоторого изделия состоит из 5 символов. Два первых означают в десятичной системе счисления номер модели изделия. Третий и четвёртый – независимо принимают значения 0 или 1 в зависимости от дополнительных признаков. На пятой позиции может находиться одна из букв A, B, C, D, E. Какое максимальное число видов изделий может быть закодировано с использованием данных обозначений ?

В. 6. 1. Выполнить действия в системе счисления c основанием 9: 6487₉: 25₉ ; 63852₉ - 87253₉ ; 382₉ ´ 57₉ .

2. Рассматривается множество всех записей чисел в факториальной системе счисления длины 5. Найти, сколько единиц встречается в этих записях.

В. 7. 1. Представить дробь 0,4₁₀ в системе с основанием 7.

2. Из 24 спортсменов формируют команду из 6 человек. Найти общее число различных вариантов ее формирования в двух случаях: а) порядок участников имеет значение, б) не имеет значения. Ответ дать формулой.

В. 8. 1. Выполнить в системе счисления с основанием 9 следующие действия: 285₉ – 752₉ , 4427₉ + 8765₉ .

2. Найти, сколькими вариантами можно разместить 4 попарно различных и 3 одинаковых объекта на 10 разных местах. Сколько существует вариантов размещения при неразличимых местах?

В. 9. 1. Перевести, используя минимальное число операций, в системы счисления с основаниями 2, 4, 8, 16 число 2342000_ф.

2. Рассматривается множество всех векторов инверсий перестановок p(1,2,3,4,5,6). Найти их суммарный вес.

В. 10. 1. Перевести дробь 0,4375₁₀ в восьмеричную систему счисления, а дробь 0,32₈ - в десятичную систему счисления.

2. В лотерее N номеров. Какова вероятность угадать в одном билете: а) ровно k, б) не более k номеров ? Ответ дать формулой.

В. 11. 1. Перевести, используя минимальное число операций, в системы счисления с основаниями 2, 4, 8, 16 число 872₁₀ .

2. Рассматривается множество всех перестановок p (1, 2, 3, 4, 5). Найти, сколько раз в записи их векторов инверсий встречается цифра 2 .

В. 12. 1. Перевести дробь 0,6₁₀ в троичную систему счисления.

2. Из 12 юношей и 5 девушек необходимо составить смешанную эстафетную команду, состоящую из трех юношей и одной девушки. Сколько существует различных вариантов формирования при условии, что порядок участников в команде не имеет значения?

В. 13. 1. Перевести, используя соотношение 3² = 9, число 1932₁₀ в девятеричную , а затем в троичную системы счисления.

2. Какое число n различающихся мест необходимо взять, чтобы 3 одинаковых объекта располагались на них как минимум 210 способами.

В. 14. 1. Перевести в десятичную, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления число 522100_ф.

2. На 10 различающихся местах помещают 8 объектов, из которых половина - одинаковые, остальные попарно различны. Найти число возможных вариантов расположения. Сколько вариантов размещения при одинаковых местах?

В. 15. 1. Выполнить следующие действия в шестнадцатеричной системе счисления: CF8₁₆ – D1B5₁₆ , 4EA2₁₆ + 8CD3₁₆ .

2. Рассматривается система счисления с основанием 7. Найти, сколько различных 5-значных чисел в ней можно записать при помощи нечётных цифр. Ответ дать формулой.

В. 16. 1. Перевести дробь 0,4₈ в троичную систему.

2. Рассматривается множество всех записей чисел в факториальной форме длины 6. Найти, сколько троек встречается в этих записях.

В. 17. 1. Перевести в десятичную систему счисления число 11001100₂ и в двоичную - число 5441100_ф.

2. В накопителе А находится n различных деталей типа I, в накопителе Б - n различных деталей типа II. Из накопителей осуществляется упорядоченная поочерёдная выборка всех деталей. Вначале выбирают одну деталь из А, затем - из Б, потом снова из А и из Б и т.д. до тех пор, пока накопители не опустеют. Найти общее число всех возможных различных выборок данного вида в двух случаях: а) порядок выборки деталей имеет значение и б) не имеет.

В. 18. 1. Перевести число 101101101₂ в факториальную систему счисления, число 45041010_ф - в десятичную систему.

2. Какое минимально возможное количество n различных объектов необходимо взять, чтобы получить из них не менее 987 различных размещений из n по 4.

В. 19. 1. Перевести, используя минимальное число операций, число 999₁₀ в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и факториальную системы счисления.

2. Какое максимальное число различных объектов n можно взять, для того, чтобы число различных вариантов их расположения на 5 местах не превышало 800.

В. 20. 1. Перевести, используя минимальное число операций, в системы счисления с основаниями 2, 4, 8, 16 число 45032010_ф .

2. В походе участвуют 4 женщин и 4 мужчин. Найти, сколько существует вариантов их размещения в 4 различных двухместных байдарках при следующих условиях: а) в одной байдарке должен плыть один мужчина и одна женщина и б) в одной байдарке могут плыть любые два участники похода.

В. 21. 1. Выполнить действия в системе счисления с основанием 7: 4516₇ + 24351₇ ; 3251₇ - 6541₇ .

2. При распознавании элементов некоторого множества автоматизированная система независимо использует 7 логических признаков, принимающих значения ”да” или ”нет”, и 2 численные характеристики, изменяющиеся от 5 до 12 и от 23 до 41. Какое максимальное число элементов может распознать система?

В. 22. 1. Представить в восьмеричной системе дробь 0,8₁₀.

2. На 7 местах располагаются выборки из объектов, общее число которых равно 10, половина из них – одинаковы, половина – попарно различны. Найти общее число различных расположений. Ответ дать формулой.

В. 23. 1. Выполнить действия в шестеричной системе счисления: 34215₆ + 5243₆ ; 4325₆ - 5513₆ .

2. В некотором алфавите 20 букв. Сколько из них можно составить попарно различных слов длины 4, у которых одна и та же буква повторяется не более 2 раз? Ответ дать формулой.

В. 24. 1. Перевести в системы счисления с основаниями 2,7 и 16 число 1654₁₀.

2. Какое максимальное число n мест необходимо взять, чтобы 4 одинаковых объекта располагались на них не более, чем 250 способами?

В. 25. 1. Перевести дробь 0,3₇ в десятичную систему счисления. Ответ дать с точностью до четвёртого знака после запятой.

2. В левой и правой частях аудитории по 25 пронумерованных мест. На лекцию пришло 20 студентов первого курса, которые разместились слева, и 18 второкурсников, занявших места справа. Сколькими различными вариантами студенты могут занять отведённые им места в аудитории ? Ответ дать в виде формулы.

В. 26. 1. Перевести в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления число 331100_ф.

2. На роторе станка находится 12 пронумерованных рабочих позиций. В них поочерёдно размещают детали вида I (общее их количество - 10) и детали вида II (которых всего 8). Сколько существует различных вариантов размещения деталей на роторе, если детали вида I попарно различны, а детали вида II – одинаковы. Ответ дать формулой.

В. 27. 1. Перевести дробь 0,6₁₀ в систему счисления с основанием 7. Ответ дать с точностью до пятого знака после запятой.

2. Сколько существует вариантов размещения 3 белых, 5 красных и 6 черных фишек на 17 различных местах? Ответ дать формулой.