Понятие вероятности

Пусть некоторая величина a принимает случайно n значений (например, от 1 до n) и общее число рассмотренных значений величины а (объем выборки) равно N. Обозначим количества значений в выборке, равных 1, 2, …, n, соответственно через k₁, k₂, …, k_n. При этом k₁ + k₂ + … + k_n = N.

Вероятностью р_i (i = 1, …, n), имеющей смысл степени повторяемости значения i в общей выборке, называют отношение

р_i = k_i / N.

Для полного набора вероятностей {p₁, p₂,…, p_n} справедливо условие нормирования:

р₁ + р₂ + … + р_n = 1.

Если все значения величины a имеют одинаковые объемы в общей выборке (k₁ = k₂ = … = k_n), а соответственно и одинаковые вероятности р₁ = р₂ = … = р_n = 1 / n, то данные значения называют равновероятными.

Пример 1.Счетчик элементарных частиц регистрирует образование легких частиц в полтора раза чаще тяжелых. Определить вероятности появления легких частиц и тяжелых частиц.

Решение. Обозначим искомые вероятности появления легких частиц и тяжелых частиц через p_л и p_т. Из условия задачи следует, что p_л = 1,5 p_т. Подставляя данное соотношение в условие нормирования (p_л + p_т = 1), получим: p_т + 1,5p_т=1.

Отсюда следует: 2,5 p_т = 1; p_т = 0,4; p_л = 1,5 p_т = 1,5 × 0,4 = 0,6.

Ответ: p_л = 0,6; p_т = 0,4.

Вопросы для проверки знаний.

1. Какую математическую дисциплину называют комбинаторикой?

2. В чем заключается основная задача комбинаторики?

3. Укажите основные характеристики комбинаторных задач, существенные для подсчета числа вариантов всех комбинаторных объектов, что называют в комбинаторике объемом выборки?

4. Что понимают под сходством-различием размещаемых объектов и выделенных для них мест?

5. Поясните правило сложения.

6. Поясните правило умножения.

7. Поясните правило учета сходства и различия объектов и мест для их расположения при подсчете элементов в комбинаторных множествах.

8. Можно ли применять правило умножения при расчете числа N(C(А)) всех возможных различных наборов вида {a₁, a₂}, у которых 1 £ a₁ £ 4,1 £ a₂ £ 5, a₂ – a₁ = 2?

9. Какой способ порождения комбинаторных множеств называют размещением, по какой формуле производится расчет общего числа различных вариантов размещений из n по m?

10. Какой способ порождения комбинаторных множеств называют перестановкой длины n?

11. Какой способ порождения комбинаторных множеств называют размещением без повторений из n по k?

12. В чем заключается отличие размещений от перестановок и размещений без повторений?

13. По каким формулам производится расчет общего числа различных вариантов перестановок и размещений без повторений?

14. Каким образом может быть применена формула для расчета общего количества размещения без повторения в случае, когда объектов больше, чем мест?

15. Какие способы порождения комбинаторных множеств называют перестановками и размещениями без повторений групп одинаковых объектов?

16. Каким образом могут быть получены расчетные формулы для общего числа комбинаторных объектов в случае перестановок без повторений групп одинаковых объектов?

17. Каким образом могут быть получены расчетные формулы для общего числа комбинаторных объектов в случае размещений без повторений групп одинаковых объектов?

18. Какой способ порождения комбинаторных множеств называют сочетанием, по какой формуле производится расчет общего числа различных вариантов сочетаний, и каким образом она может быть выведена?

19. Какая задача рассматривается при определении вероятности, и каким образом она вводится?

20. В чем заключается условие нормирования вероятностей ?

21. Какие значения случайной величины называют равновероятными?