Выбор аппроксимирующего распределения.
Часто исследователь не имеет возможности вследствие недостаточной изученности явления сделать выбор статистической модели для описания результатов наблюдений на основе теоретических соображений. В этом случае он осуществляет выбор аппроксимирующего распределения эмпирическим путем с последующей проверкой адекватности выбранной модели реальному явлению.
Эмпирическими распределениями широко пользуются при моделировании функционирования различного рода сложных систем методом Монте-Карло, а также при прогнозировании возможных исходов в последующих опытах на основе имеющейся информации. Существует несколько методов аппроксимации эмпирических распределений.
Метод выбора и оценки параметров аппроксимирующего распределения Пирсона. Для выбора вида аппроксимирующей функции Пирсон предложил использовать график, на котором по оси абсцисс отложено значение квадрата коэффициента асимметрии , а по оси ординат - значение коэффициента эксцесса .
На рисунке показано, как размещаются в указанной системе координат распределения: нормальное, равномерное, экспоненциальное (представленные точками, так как они не имеют параметра формы), логарифмически нормальное, гамма-распределение, бета-распределение Стьюдента (представленные кривыми, поскольку у них имеется один параметр формы), бета-распределение (имеющее два параметра формы и занимающее определенную область).
Для выбора графика аппроксимирующей функции распределения необходимо знать значения и , которые, как правило, не известны и заменяются оценками , и , полученными на основе экспериментальных данных.
Рис.11.1- Области, соответствующие различным распределениям в системе координат и области, соответствующие различным распределениям Пирсона в системе координат и где : 1 - равномерное распределение; 2 - нормальное распределение: 3 - экспоненциальное распределение; 4- гамма-распределение: 5 - логарифмически нормальное распределение; 6 - t-распределение: U-образное бета-распределение: J-образное бета-распределение; B-бета-распределение
Необходимые для получения оценок , и центральные моменты рассчитывают по формулам:
,(11.1); ,(11.2); ,(11.3)
откуда: ,(11.4); ,(11.5)
Значения случайных величин , и очень чувствительны к отклонению отдельных крайних точек случайной величины х от ее среднего. Поэтому при малых выборках (объемом меньше 200 единиц) использование этих оценок требует большой осторожности.
Пирсон предложил семь типов распределений, позволяющих описывать большую область изменений , и , чем это удается сделать с помощью описанных выше распределений. Плотность вероятности f(x) в этих распределениях является решением дифференциального уравнения
; (11.6)
где началом отсчета для х служит среднее значение. Вид решения зависит от постоянных величин c0, с1 и c2, которые связаны простыми соотношениями с моментами соответствующего распределения вероятностей:
; ; ; (11.7)
В качестве частных решений уравнения получаются рассмотренные выше нормальное распределение бета-распределение (распределение Пирсона типа I) и гамма-распределение (распределение Пирсона типа III).
Распределения Пирсона типа II симметричны относительно центральной ординаты и имеют конечный размах, типа IV асимметричны с неограниченным в обоих направлениях размахом, типа V асимметричны с ограниченным с одной стороны размахом (0<= х < ), типа VI асимметричны с ограниченным с левой стороны размахом (a < х < ), типа VII симметричны относительно оси ординат с неограниченным размахом в обе стороны. Частным случаем этого типа распределения является нормальное распределение.
Область точек ( , ) которым соответствуют определенные кривые распределений, ограничена сверху и снизу прямыми, описываемыми соответственно уравнениями: и (11.8)
Более подробно с распределениями Пирсона и методами подбора аппроксимирующих кривых можно познакомиться в литературе.
Дата добавления: 2015-10-05; просмотров: 888;