Нормальное распределение. Из применяемых в статистике распределений наиболее часто пользуются нормальным распределением
Из применяемых в статистике распределений наиболее часто пользуются нормальным распределением. Применение модели обусловлено тем, что согласно центральной предельной теореме - распределение среднего n независимых случайных величин, распределенных по любому закону с конечными математическими ожиданиями и дисперсиями, приближается к нормальному, когда число n наблюдений в выборке стремится к бесконечности.
Распределение выборочного среднего стремится к нормальному и при относительно небольших n, если распределения всех независимых случайных величин не сильно отклоняются от нормального и их дисперсии, приблизительно равны друг другу.
Рис.10.1- Нормальные распределения с одинаковыми v = 0 и различными
значениями : 1 — 0,5; 2 — 1,0; 3 — 2,0
Таким образом, если случайную величину можно рассматривать как результат большого числа независимых равновеликих воздействий, то есть основания считать, что она имеет нормальное или гауссово распределение. Примерами нормально распределенных величин могут служить ошибки измерения, результаты испытания стали на прочность и ударную вязкость, часовая производительность мартеновских печей, масса слитков, отлитых в однотинные изложницы и др. Кроме того, при соблюдении некоторых (в каждом случае своих) условий- нормальным распределением аппроксимируют другие распределения.
Нормальное (гауссово) распределение определяется выражениями:
· плотности (10.1)
· интегральной функции распределения
(10.2)
в которых и где: v - центр распределения (его математическое ожидание); - стандартное отклонение, масштабирующее рассеяние.
Основные характеристики, нормального распределения:
· Среднее МХ = vx
· Дисперсия DХ =
· Третий центральный момент =0
· Четвертый центральный момент = 3
· Коэффициент вариации у
· Коэффициент асимметрии Sk = 0.
· Коэффициент эксцесса Ех = 3.
Если вместо нормально распределенной случайной величины Х использовать величину отклонения Х от его математического ожидания vx, отнесенную к стандартному отклонению , т. е. если ввести случайную величину:
Y= (X -vx)/ , (10.3)
то эта величина будет распределена по нормальному закону при vy = 0 и = 1. Величину Y называют нормированным отклонением случайной величины. Для нормированного отклонения, распределенного по нормальному закону:
(10.4)
(10.5)
где
Значения плотности вероятности и интегральной функции распределения, называемого нормированным нормальным распределением, табулированы и приведены в учебниках по математической статистике и в специальных математических справочниках. Поскольку нормальное распределение симметричное, в таблицах обычно приводят значения интегральной функции F (у; 0,1) только для у >= 0. Значения интегральной функции для у < 0 определяются из равенства
F (-у; 0,1) = 1 - F (у; 0,1)(10.6)
Значения плотности вероятности f(у) = f (-у), в таблицах их приводят для у >= 0.
Дата добавления: 2015-10-05; просмотров: 1046;