Биномиальное распределение. Имеются N независимых частиц или N независимых попыток с положительным или отрицательным результатами

Имеются N независимых частиц или N независимых попыток с положительным или отрицательным результатами. Если известна вероятность p положительного результата для одной частицы или попытки, то вероятность положительного результата для любых n частиц или попыток описывается биномиальным распределением

, (1.26)

где

; ;

– биномиальный коэффициент;

; , ,

,

, , .

Распределение обосновал Бернулли, результат опубликован в 1713 г.

Якоб Бернулли (1654–1705)

Для доказательства (1.26) рассмотрим идеальный газ из N тождественных частиц в объеме V, все точки которого равноправны. Получим вероятность обнаружения n любых частиц в объеме .

1. Вероятность найти определенную частицу в объеме DV согласно (1.5)

.

2. Вероятность найти определенную частицу вне объема DV

.

Эти несовместимые события образуют полный набор и удовлетворяют условию нормировки.

3. Вероятность найти n определенных частиц в объеме DV согласно теореме об умножении вероятностей независимых событий (1.6) равна . Вероятность найти (N – n) определенных частиц вне объема DV равна .

4. Вероятность найти одновременно n определенных частиц в объеме DV и (N – n) других частиц вне этого объема

.

5. Взаимная перестановка тождественных частиц дает состояние, не отличимое от исходного. Число таких состояний есть число сочетаний n частиц из общего числа N и равно биномиальному коэффициенту .

6. Тогда вероятности найти n любых частиц в объеме DV и (N – n) любых других частиц вне DV равна (1.26).

Условие нормировки. Складываем вероятности всех возможных случайных результатов

,

где использована формула бинома Ньютона

.

Отсюда идет название распределения.

Исаак Ньютон (1642–1727)

Производящая функция биномиального распределения

. (1.27)

Для доказательства (1.27) подставляем биномиальное распределение (1.26)

в определение производящей функции (П.1.14)

. (1.27а)

Используем бином Ньютона

,

и получаем (1.27).

Выполняется условие нормировка (П.1.16) для биномиального распределения согласно

.

Среднее число частиц в объеме DV получаем подстановкой производящей функции (1.27)

в (П.1.17)

.

Находим

, (1.28)

где учтено . Результат очевиден, поскольку – средняя концентрация.

Из (1.28) выражаем вероятность некоторого признака у частицы

и подставляем в биномиальное распределение (1.26)

.

Получаем вероятность наличия некоторого признака у n частиц,если этот признак наблюдается в среднем у частиц из общего числа N

. (1.29)

В частности, отсутствия признака у всех частиц соответствует , вероятность этого

.

Наличия признака у всех частиц соответствует , и наблюдается с вероятностью

.

Среднеквадратичное число частиц и дисперсия. Подставляем производящую функцию (1.27)

в (П.1.18)

.

Находим среднее квадратичное

(1.30)

и дисперсию

. (1.31)

Дисперсия равна нулю при и , при достигается максимальное значение .

График распределения для , , показан на рис. 1.1, a.

а б

Рис. 1.1. Распределения биномиальное (а)

и Пуассона (б) для N = 10, , р = 0,45