Эквивалентность бесконечно малых функций

Две функции и называются эквивалентными бесконечно малыми, при , если

,

это записывают так: при .

При вычислении пределов функций в точке и на бесконечности удобно пользоваться следующей теоремой:

Теорема. Если h(x), f(x) и g(x) – некоторые функции, определенные в окрестности точки (на числовой полуоси) и при , то

(16.16)

Формула (16.16) показывает, что в произведении можно заменять функцию-сомножитель на эквивалентную ей – более простую для вычисления предела.

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Пусть , если . Тогда справедливы следующие эквивалентности:

(16.17)

(16.18)

(16.19)

(16.20)

(16.21)

(16.22)

(16.23)

(16.24)

Пример 1. Вычислить предел функции в точке, заменяя бесконечно малые эквивалентными им:

1) 2)

3) 4)

Решение.1) Непосредственное вычисление предела приводит к неопределенности вида . Используем формулу (16.16), а также формулы (16.22), (16.24), (16.17) таблицы эквивалентных функций.

При этом выполняются условия если которые являются обязательными для перехода к эквивалентным функциям. Тогда

Заметим, что решение примера с таким условием уже дано выше (см. 3-е условие примера 2 из параграфа 16.2).

2) При подстановке в выражения получаем неопределенность вида . Чтобы от нее избавиться, воспользуемся формулами (16.18), (16.23), (16.24) таблицы эквивалентных бесконечно малых. Поскольку то справедливы эквивалентности:

Подставив полученные эквивалентные функции вместо соответствующих бесконечно малых, получим:

3) Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, и используем формулу (16.19):

Использование формулы (16.19) было обосновано тем, что если

4) Замечаем, что непосредственное вычисление предела приводит к неопределенности вида Вместе с тем, если а поэтому можем использовать формулу (16.20). Тогда

Пример 2. Вычислить предел: несколькими способами.

Решение. 1-й способ. При получим:

и

Следовательно, имеем неопределенность вида . Сделаем замену переменной. Введем такое t, чтобы если

Далее заменим бесконечно малые в числителе и знаменателе на эквивалентные по формулам (16.21), (16.23), (16.22), (16.18).

Мы имеем право сделать это, так как для соответствующей функции u(t) выполняется если Получаем:

2-й способ. Поскольку при непосредственном вычислении предела имеем неопределенность вида то необходимо преобразовать выражение, стоящее под знаком предела. Однако сразу использовать таблицу эквивалентности бесконечно малых нельзя, поскольку и не стремятся к нулю, если Используя свойство периодичности тригонометрических функций, получаем:

Выражение под знаком предела преобразовано таким образом, что и если Поэтому можно использовать формулы эквивалентности (16.21), (16.23), (16.22), (16.18). В результате получаем:

Пример 3. Вычислить предел функции, заменяя бесконечно малые эквивалентными,

Решение. Непосредственное вычисление предела приводит к неопределенности вида Используем формулы (16.19) и (16.22) таблицы эквивалентных функций.

При этом выполняется условие если которое является обязательным для перехода к эквивалентным функциям. Тогда

Используя далее вторую формулу из (16.12), получаем: