Графика функции

Левой (правой) полуокрестностью точки х₀ называется произвольный интервал где слева (справа).

Число А называется пределом слева (справа) функции f(x) в точкех₀, если функция f(x) определена в некоторой левой (правой) полуокрестности точки и если для любого существует такое, что для всех x, удовлетворяющих условию выполняется неравенство

В этом случае пишут:

Пределы слева и справа называются односторонними пределами. Если то односторонние пределы обозначают

Функция f(x) имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют оба односторонних предела, равных между собой.

В этом случае их общее значение является пределом функции f(x) в точке

Асимптота графика функции – это прямая линия, к которой неограниченно приближается график данной функции, когда его точка неограниченно удаляется от начала координат.

Различают горизонтальную, вертикальную и наклонную асимптоты.

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции если или

В случае вертикальной асимптоты функция является бесконечно большой в точке

Прямая y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции если

Вертикальные асимптоты могут существовать у функций, которые определены не на всей числовой прямой, т. е. имеют разрыв второго рода.

Если областью определения функции является вся числовая прямая, то у функции нет вертикальных асимптот.

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при если

Для нахождения коэффициентов k и b применяют следующие формулы:

(16.25)

(16.26)

Если хотя бы один из пределов (16.25), (16.26) равен или не существует, то у функции наклонных асимптот нет.

Если то прямая является горизонтальной асимптотой. Заметим, что наклонных асимптот у функции может быть не больше двух, а вертикальных может быть сколько угодно.

Пример 1. Найти односторонние пределы функции f(x) в точке х₀:

1) 2)

Решение.1) Вычислим пределы функции в точке слева и справа, т. е. и

Если то значит Получаем

2) При функция задана формулой Поэтому

При функция задана формулой т. е.

Значит

Пример 2.С помощью односторонних пределов показать, что функция не имеет предела в точке

Решение. При имеем и функция принимает вид:

Поэтому

При имеем и функцию

Поэтому

Получим, что оба односторонних предела функции в точке существуют, однако они различны, поэтому не существует.

Пример 3.Найти асимптоты графика функции:

1) 2)

Решение. 1)Вертикальных асимптот данная функция не имеет, потому что она определена для любых Для того чтобы найти горизонтальные асимптоты, надо рассмотреть пределы функции на бесконечности:

Получили, что – горизонтальная асимптота (ось 0x).

Будем искать наклонные асимптоты в виде функции

Согласно формулам (16.25) и (16.26), вычисляем:

Так как значит наклонных асимптот у графика нет.

2) Так как при функция не определена, рассмотрим

Вычисляем:

Поэтому прямая является вертикальной асимптотой графика функции.

Ищем горизонтальную асимптоту.

Вычисляем

это означает, что горизонтальных асимптот нет.

Выясним наличие наклонных асимптот. По формулам (16.25) и (16.26) находим:

Приходим к выводу, что – наклонная асимптота.

Пример 4.Найти асимптоты графика функции:

1) 2)

Решение. 1) Областью определения D(y) функции является то множество, на котором выполняется неравенство Решив последнее неравенство, получим что

Определим вертикальные асимптоты графика функции. Рассмотрим поведение функции в окрестности точки Функция определена только в левой полуокрестности этой точки, поэтому вычисляем левосторонний предел: