Второй замечательный предел

(16.8)

(16.9)

в частности,

(16.10)

в частности,

(16.11)

Указанные формулы (16.7) – (16.11) замечательных пределов обобщаются на любую функцию u(x), стоящую вместо независимой переменной х при условии, что если (или ) во всех формулах, кроме (16.8), в которых

Обобщенная таблица замечательных пределов

(16.12)

(16.13)

(16.14)

(16.15)

При использовании обобщенных формул на практике вместо под знаком предела пишут указанное в условии: .

Все приведенные формулы обобщенной таблицы замечательных пределов (кроме формул (16.12)) раскрывают неопределенность вида . Формулы (16.12) раскрывают неопределенность вида .

Пример 1.Вычислить предел функций в точке:

1) 2) 3)

Решение. 1) При непосредственной подстановке в функцию значения получаем неопределенность вида для раскрытия которой воспользуемся первым замечательным пределом:

2) При получаем неопределенность вида для раскрытия которой сначала применим формулы тригонометрии, а затем первый замечательный предел:

3) Преобразуем вначале разность косинусов в произведение, а затем используем первый замечательный предел:

Пример 2. Вычислить предел функции, используя соответствующий замечательный предел:

1) 2)

3) 4)

Решение. 1) Воспользуемся первой формулой из (16.12):

В данном случае и если значит

2) Непосредственная подстановка в функцию значения х = 0 дает неопределенность вида 1^¥ для раскрытия которой воспользуемся второй формулой из (16.12). Для этого преобразуем выражение под знаком предела:

3) При получаем неопределенность вида для раскрытия которой сначала упростим выражение, а затем применим формулы (16.7), (16.13), (16.15):

4) Имеем неопределенность вида 1^¥. Сделаем замену переменной. Пусть тогда При новая переменная При этом

а

Подставив полученные выражения в формулу, получим:

Заметим, что этот пример также можно было решать без замены переменной.