Предел функции в точке и на бесконечности

Определение предела функции по Гейне было дано в § 10.3.

Определение по Коши. Число А называется пределом функции f(x) в точке х₀, если функция определена в некоторой выколотой окрестности точки х₀ и если для любого сколь угодно малого числа существует такое число что для всех х, удовлетворяющих условию

(16.1)

выполняется

(16.2)

Это записывают так:

Число А называется пределом функции на бесконечности (при или ), если для любого существует число что для всех х, удовлетворяющих условию

выполняется неравенство

Это записывают так:

или

Определение предела функции в точке (на бесконечности) по Гейне и Коши эквивалентны.

Функция f(x) называется бесконечно большой при если для всякого числа М > 0 существует число что для всех х, удовлетворяющих условию

( ),

выполняется неравенство

Это записывают так:

Если f(x) – бесконечно большая функция при то она не имеет предела в этой точке (на бесконечности). Символ предела в данном случае используют лишь для обозначения.

Функция f(x) называется бесконечно малой при если