Прямая и плоскость в пространстве

Пусть прямая L задана каноническими уравнениями:

где а плоскость P задана общим уравнением:

где

Тогда взаимное расположение прямой L и плоскости P в пространстве можно определить по взаимному расположению направляющего вектора прямой L и нормального вектора плоскости P. Справедливы утверждения:

тогда и только тогда, когда

тогда и только тогда, когда

тогда и только тогда, когда

тогда и только тогда, когда

В последнем случае координаты точки пересечения М₁ могут быть найдены следующим образом. От канонических уравнений прямой следует перейти к параметрическим, после чего подставить x = x(t), y = y(t), z = z(t) в уравнение плоскости. Затем надо разрешить полученное уравнение относительно параметра t и найденное значение t подставить в параметрические уравнения прямой. Это позволит найти значения x₁, y₁, z₁, которые и будут координатами искомой точки М₁ пересечения прямой L и плоскости P.

Углом j между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость, т. е.

Пример 1. Установить взаимное расположение прямой и плоскости. В случае их пересечения найти координаты точки пересечения:

1) и

2) и

3) и

Решение. 1) Определим координаты направляющего вектора прямой по ее каноническим уравнениям. Это вектор Нормальный вектор плоскости имеет координаты Найдем скалярное произведение векторов и

Значит, т. е. прямая L и плоскость P параллельны. Проверим, не лежит ли прямая L в плоскости P. Для этого определим, принадлежит ли плоскости P точка которая лежит на прямой. Подставим ее координаты в уравнение плоскости:

Следовательно, а значит,

2) Прямая имеет направляющий вектор и проходит через точку Выясним, будет ли вектор перпендикулярен нормальному вектору заданной плоскости Вычислим скалярное произведение:

Поскольку оно равно нулю, то

Осталось проверить принадлежность точки плоскости:

Значит, прямая L лежит в плоскости P.

3) Направляющий вектор заданной прямой и нормальный вектор плоскости не коллинеарны и не перпендикулярны, так как (коэффициенты не пропорциональны) и (скалярное произведение не равно нулю). Значит, Найдем координаты точки М₁ пересечения прямой и плоскости. Для этого перейдем сначала к параметрическим уравнениям прямой:

Затем в уравнение плоскости P подставим вместо x, y, z их выражение через параметр t:

откуда имеем:

т. е.

Подставим найденное значение параметра t в параметрические уравнения прямой:

Получили точку в которой прямая пересекает плоскость.

Пример 2. Определить угол между прямой L и плоскостью P:

1)

2)

3)

Решение. 1) По уравнению прямой L находим ее направляющий вектор а для плоскости Р – нормальный вектор

Очевидно, что координаты этих векторов пропорциональны, а значит, векторы являются коллинеарными. Следовательно, прямая L перпендикулярна плоскости Р, т. е.

2) Направляющий вектор прямой L имеет координаты а нормальный вектор плоскости Р – Так как то векторы перпендикулярны, а прямая и плоскость параллельны. Определим, не лежит ли прямая L в плоскости. Для этого координаты точки подставим в уравнение плоскости: Значит прямая и плоскость параллельны, т. е.

3) Значит,

Таким образом

Пример 3. Найти координаты точки N, симметричной точке относительно прямой, проходящей через точки и

Решение. 1-й способ. Построим плоскость Р, проходящую через точку М перпендикулярно прямой АВ.

откуда Р:

Уравнения прямой АВ:

Найдем точку О пересечения плоскости Р и прямой АВ. Для этого решим уравнение

Значит, О(3, –2, 2). Так как О – середина отрезка MN, то

Зная координаты точек О и М, найдем N(4, 1, –3).

2-й способ. Для решения можно также воспользоваться следующими рассуждениями: точка N, симметричная точке M, находится в той же плоскости, что прямая AB и точка M, лежит на перпендикуляре MN к прямой AB и удалена от прямой AB на то же расстояние, что и точка M.

Пусть Тогда

1) – компланарны;

2)

3)

4) середина отрезка MN лежит на прямой AB.

Составим систему уравнений, используя координатную форму записи условий 1–3:

компланарны при условии т. е. откуда получаем:

т. е.

После сокращения имеем:

откуда

(15.20)

Условие равносильно условию или что приводит к уравнению

После преобразования имеем:

Далее получим:

откуда

(15.21)

Вычислим:

Равенство этих величин дает нам:

Подставим в последнее равенство правые части формул (15.20) и (15.21) вместо y и z соответственно, откуда получим уравнение

Решим это уравнение, найдя корни

Соответствующие значения y, z вычислим, используя равенства (15.20) и (15.21). Получим точки и которые удовлетворяют первым трем условиям. Осталось проверить четвертое условие. Найдем середины О₁ и О₂ отрезков и соответственно:

или

или

Проверим, какая из точек (О₁ или О₂) лежит на прямой АВ:

так как но

так как

Приходим к ответу:

Пример 4. Прямая L задана как линия пересечения плоскостей

Написать уравнение ее проекции на координатную плоскость Oxz.

Решение. Построим канонические уравнения прямой L. В качестве направляющего вектора можно взять вектор где Тогда

т. е.

Если то получим систему уравнений

из которой найдем а значит точка лежит на прямой L.

Таким образом, канонические уравнения прямой L таковы:

что эквивалентно системе трех уравнений, описывающих три плоскости, проектирующие прямую на координатные плоскости Oxy, Oxz и Oyz соответственно:

После упрощения получаем:

Искомое уравнение: