Метод элементарных преобразований
Используя элементарные преобразования строк, матрицу приводят к трапециевидной или треугольной форме, далее ранг находят по определению.
Как частный случай последнего метода, может быть рассмотрен метод нулей и единиц: элементарным преобразованием строк матрицу приводят к эквивалентной, состоящей или из нулевых строк и столбцов, или из строк и столбцов, в которых содержится ровно одна единица, а остальные элементы – нулевые. Количество единиц в такой матрице равно ее рангу.
Пример 1.Исследовать матрицу A на невырожденность, найти А–1, если она существует, результат проверить.
Решение. Вычислим определитель матрицы A
Невырожденность матрицы A означает, что существует единственная обратная ей матрица А–1.
1-й способ. Используя формулу (13.4), найдем алгебраические дополнения:
Тогда и по формуле (13.4) имеем:
(13.5)
2-й способ. Воспользуемся эквивалентностью матриц и
Следовательно,
Для контроля правильности результата достаточно проверить условия Действительно,
Аналогично
Пример 2. Решить матричное уравнение
Решение. Запишем уравнение в виде
(13.6)
где A, B, C – заданные матрицы.
Умножим уравнение (13.6) слева на А–1 и справа на В–1. Тогда справедливо или, учитывая определение обратной матрицы,
Найдем А–1 и В–1:
Тогда
Значит,
Пример 3. Доказать, что матрица A является ортогональной, т. е. для нее выполняется равенство
Решение.Найдем АТ и проверим равенство
Мы доказали ортогональность матрицы A.
Пример 4. Найти ранг матрицы
Решение. 1-й способ. Воспользуемся методом окаймляющих миноров. Фиксируем Для М2 окаймляющими будут два минора 3-го порядка:
Значит, rA = 2, а базисным минором можно считать, например, М2.
2-й способ. Преобразуем матрицу A:
Ранг последней матрицы равен двум, следовательно, таков же ранг исходной матрицы.
З а м е ч а н и е. О том, что ранг матрицы A равен 2, можно было судить на третьем шаге преобразований (во 2-м способе), когда получили нулевую строку и ненулевой минор (выделен) максимального порядка 2.
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 618;