Системы линейных уравнений. Система линейных алгебраических уравнений (или линейная система) имеет вид:
Система линейных алгебраических уравнений (или линейная система) имеет вид:
(13.7)
где aij и bj – заданные числа.
Эту систему можно записать в матричной форме
(13.8)
где – матрица системы, состоящая из коэффициентов aij, B – матрица-столбец свободных элементов bj, X – матрица-столбец неизвестных, т. е. такая, которая обращает матричное уравнение (13.8) в равенство (является решением этого уравнения).
Решением системы (13.7) называется упорядоченная совокупность n чисел, которые после подстановки в уравнения системы вместо соответствующих переменных обращают каждое уравнение системы в верное числовое равенство.
Система (13.7) называется совместной, если у нее существует хотя бы одно решение, в противном случае она называется несовместной. Совместная система называется определенной, если она имеет одно решение, и неопределенной – если более одного решения. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если множества их решений совпадают.
Ответ на вопрос о совместности системы дает теорема Кронекера-Капелли: для того чтобы система (13.7) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы
где – расширенная матрица системы (13.7), т. е. матрица А системы, к которой добавлен столбец B свободных членов.
Рассмотрим систему имеющую вид:
(13.9)
или в матричном виде
АХ = В,
где
Определителем системы(13.9) называется определитель матрицы этой системы (т. е. состоящий из коэффициентов системы): Если то система называется невырожденной; если – вырожденной.
Методы решения невырожденных систем используются для решения линейных систем (13.9), состоящих из n уравнений с n неизвестными, для которых
Метод обратной матрицы состоит в решении матричного уравнения
Метод Крамера также используют для решения невырожденных систем. Неизвестные находят по формулам Крамера
(13.10)
где Di – определитель, получаемый из определителя D системы (13.8) заменой i-го столбца столбцом свободных членов.
Решение произвольной линейной системы из m уравнений и n неизвестных начинается с нахождения ранга. Пусть и система (13.7) сведена к эквивалентной системе
(13.11)
Если то система (13.11) имеет единственное решение, которое можно получить указанными выше методами; если то существует бесконечное множество решений. Для его получения неизвестные x1, x2, …, xr называют базисными, xr + 1, xr + 2, …, xn – свободными, система (13.11) записывается в виде
Свободным переменным присваиваются произвольные численные значения с1, с2, …, сn – r.
Последняя система решается, например, методом Крамера.
Метод Гаусса используют для решения произвольных систем. С помощью элементарных преобразований над строками расширенную матрицу системы (13.7) приводят к виду
Соответствующая ей система, равносильная (13.7), примет вид:
(13.12)
Если хотя бы одно из чисел …, отлично от нуля, то система (13.12), а значит, и исходная система (13.7) не совместны.
Если = … = = 0, то система (13.12) позволяет получить явное выражение для базисных неизвестных x1, …, xr через свободные неизвестные xr+1, …, xn. Таким образом получают бесконечное множество решений.
Если r = n, то свободные переменные отсутствуют, а значит, системы (13.12) и (13.7) имеют единственное решение.
На практике обычно обходятся приведением матрицы системы (13.7) к треугольной или трапециевидной форме, после чего значения базисных переменных ищутся в обратном порядке.
Решение произвольной линейной системы (13.7) из m уравнений и n неизвестных целесообразно начинать с нахождения ранга. Пусть и система (13.7) сведена к эквивалентной системе.
Если r = n, то система (13.7) имеет единственное решение, которое можно получить указанными выше методами. Если r < n, то существует бесконечное множество решений. Для его получения неизвестные х1, х2, …, хr объявляют базисными, xr+1, xr+2, …, xn – свободными, систему (13.12) записывают в виде
Присваивая xr+1, xr+2, …, xn произвольные численные значения с1, с2, …, сn–r соответственно, получают решение в виде
Пример 1. Решить разными способами систему уравнений
Решение. 1-й способ. Используем метод обратной матрицы. Запишем матрицу системы:
Матрица А невырожденная, так как ее определитель не равен нулю. Действительно,
(13.13)
Найдем обратную матрицу А–1:
А11 = –3; А21 = –5; А31 = 5;
А12 = 1; А22 = 1; А32 = –1;
А13 = 7; А23 = 13; А33 = –11.
Следовательно,
Используем далее формулу (13.10):
т. е. x1 = –2, x2 = 0, x3 = 8 – единственное решение.
Получаем ответ: (–2; 0; 8).
2-й способ. Используя формулы Крамера (13.10), вычисляем определитель системы (13.13).
Заменяем в определителе D первый столбец столбцом свободных членов и вычисляем
Заменяем в определителе D второй столбец столбцом свободных членов и вычисляем
Заменяем в определителе D третий столбец столбцом свободных членов. Тогда
Тогда, используя формулы (13.10), получим:
Таким образом получаем решение (–2; 0; 8).
3-й способ. Используем метод Гаусса. Приведем заданную систему к равносильной. Для этого осуществим элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы:
Последней матрице соответствует система
Из нее последовательно находим неизвестные, начиная с x3:
Таким образом, приходим к ответу (–2; 0; 8).
Пример 2. Исследовать систему на совместность и найти ее решение
Решение. Запишем расширенную матрицу системы:
Наибольший порядок отличных от нуля миноров равен 2 (так как любой минор 3-го порядка содержит нулевую строку, то он будет равен нулю). Значит, т. е. исходная система совместна.
Поскольку ранг меньше количества неизвестных (2 < 5), то система имеет бесконечное множество решений.
Выберем в качестве базисного минор Тогда х1, х2 – базисные неизвестные, х3, х4, х5 – свободные. Система, равносильная исходной, имеет вид:
Полагаем х3 = с1, х4 = с2, х5 = с3,
где с1, с2, с3 – произвольные постоянные, и решаем указанную систему.
Получаем:
Таким образом, решение примет вид:
где
Пример 3. Найти матрицу и действительное число l, для которых выполняется условие
Решение. Введем обозначение Тогда условие задачи запишется в виде
или
Очевидно, что при любом действительном l нулевая матрица удовлетворяет равенству, т. е. Х = 0.
Пусть Тогда ненулевое решение найдем, если матрица окажется вырожденной, т. е. Решаем последнее уравнение относительно l:
Значит, при что справедливо при
Рассмотрим случай, когда l = 1. Тогда Запишем последнее равенство в виде системы
Получаем Если то
Значит, матрица X, удовлетворяющая заданному матричному уравнению при l = 1, примет вид:
При l = –2 аналогично получим систему
из которой находим
или
Таким образом, приходим к следующему заключению относительно выполнимости условия:
1) если l = R, то Х = 0;
2) если l = 1, то
3) если l = –2, то
Следовательно, данная задача имеет нетривиальное (т. е. ненулевое) решение лишь при l = 1 или l = –2.
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 859;