Свойства проекции вектора на ось
1.
2.
3.
4.
Скалярное произведение двух векторов в пространстве определяется аналогично случаю на плоскости:
Формула скалярного квадрата:
Справедлива формула, связывающая скалярное произведение векторов и проекции этих векторов:
(14.1)
Пример 1. Дана треугольная призма (рис. 14.3). Разложить вектор по векторам и
Решение. По правилу треугольника имеем:
Складывая левые и правые части этих векторных равенств, получаем:
Так как и то и, следовательно,
Рис. 14.3
Пример 2. При соблюдении каких условий ненулевые векторы и удовлетворяют условию ?
Решение. Так как неравенство связывает неотрицательные числовые величины, возведем в квадрат, что не изменит его смысла:
Перейдя к скалярному квадрату и воспользовавшись алгебраическими свойствами скалярного произведения, получим:
откуда
Получаем:
т. е.
Очевидно, последнее условие выполняется при т. е. при
Таким образом, векторы или сонаправлены или образуют острый угол.
Пример 3. Вычислить и если а векторы и образуют с осью l соответственно углы в 120° и 45°.
Решение. Согласно свойствам проекции, имеем:
Тогда получаем:
Пример 4. Найти проекцию вектора на направление вектора если
Решение. Используем свойства проекции:
Пример 5. Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и если
Решение. Пусть и . Тогда и представляют длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и
Пример 6. Найти угол между векторами и если
Решение. Обозначим угол между векторами φ, тогда
Тогда
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 644;