Свойства операции транспонирования матриц

1)

2)

3)

4)

Если для квадратной матрицы A выполняется соотношение то матрица A называется симметрической матрицей, а если – то кососимметрической.

Элементарными преобразованиями над строками матрицы A называют следующие операции:

1) перестановку строк;

2) умножение строки на ненулевое число;

3) прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на ненулевое число.

Говорят, что матрица A эквивалентна матрице B (пишут: A~B), если матрица B получена из A при помощи элементарных преобразований строк.

Пример 1. Найти 2A – 3B, если

Решение. Прежде всего следует заметить, что матрицы A и B имеют одинаковый размер 2×3. Поэтому по определению линейных операций над матрицами имеем:

Пример 2. Если возможно, вычислить соответствующие произведения и проверить справедливость равенства AB = BA для следующих пар матриц:

1) 2)

3) 4)

5)

Решение. 1) Матрицы A и B согласованные, так как матрица A имеет размер 2×2, а матрица B – размер 2×3, т. е. количество столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы B.

Умножение матрицы B на матрицу A невозможно, так как матрицы не согласованы (число 3 столбцов матрицы B не равно числу 2 строк матрицы A).

2) Произведения AB и BA могут быть найдены, так как в обоих случаях матрицы согласованы:

.

Приходим к выводу, что

Приведенный пример иллюстрирует не только отсутствие свойства коммутативности операции умножения для многих согласованных для этого действия матриц, но и показывает, что при умножении двух ненулевых матриц может быть получена нулевая.

3) Матрицы A и B согласованы для умножения, но произведения AB и BA имеют разные размеры и элементы:

AB и BA – квадратные матрицы размеров 3×3 и 2×2 соответственно,

4)

Приходим к заключению, что

Очевидно, что условие будет соблюдаться для любых диагональных матриц одного размера.

5) Матрицы A и B согласованы для умножения:

при соблюдении условий: т. е. при Таким образом, матрица A является коммутативной с матрицей или где a, b, с – любые действительные числа.

Пример 3.Найти матрицу X, удовлетворяющую условию если известна матрица

Решение. Запишем равенство в виде а затем и, наконец, Поскольку то

Пример 4.Найти значение матричного многочлена f(A), если

Решение. По условию задачи

Пример 5. Привести матрицу А к треугольному виду с помощью элементарных преобразований строк, если

Решение. Поменяв строки местами, получим матрицу, эквивалентную исходной:

Затем запишем вместо второй строки сумму первой, умноженной на (–2), и второй, а вместо третьей – результат сложения первой, умноженной на (–3), и третьей:

Осталось прибавить к третьей строке вторую, умноженную на (–2):

В результате получена треугольная матрица, эквивалентная матрице A.

Эти преобразования (без комментария) записывают в виде