Простейшие разностные аппроксимации задачи Коши.

Cнова рассматриваем задачу Коши для ОДУ в её обычной постановке:

y¢(x) = f (x, y(x)), xÎ [x₀, b] (1)

y (x₀) = y ₀ (2)

Полагая в выражении (1), что x = x_i получим:

y¢ (x_i) = f (x_i, y(x_i) ) (44)

Далее к левой части равенства (44) будем применять приведённые в таблице 2 простейшие аппроксимации производной y¢(x) первого и второго порядков точности.

Таблица 2 -формулы аппроксимации первой производной.

формула левой аппроксимации производной y¢(x) в узле xi: , x i-1 Î(x i-1; xi),

формула правой аппроксимации производной y¢(x) в узле xi: , x i+1 Î(x i; xi+1)

формула симметричной аппроксимации производной y¢(x) в узле xi: , x iÎ( x i-1; x i+1)

формулы несимметричной аппроксимации производной y¢(x) второго порядка точности в узле xi: , xiÎ(x i, x i+2), , xiÎ(x i-2, x i).

Используя соотношения из таблицы 2 для аппроксимации производной y¢(x) из ОДУ (1), получим следующие выражения для приближённых (явных и неявных) разностных методов решения задачи Коши для ОДУ первого порядка.

y¢(x_i) = или

y¢(x_i+1) = (45)

(46)

(47)

или

переписывая это соотношение применительно к узлу (x_i-1) получим:

(48)

или

переписывая это соотношение применительно к узлу (x_i+1) получим:

(49)

Отбрасывая в выражениях (45) - (49) слагаемое, характеризующее порядок аппроксимации производной и заменяя в них точные значения y (x_j) решения y (x)
в j-х узлах сетки w_h = { x _i|x _i = x₀ + ih (i = 0,1, …, n) } приближёнными значениями
y_j получаем следующую совокупность разностных схем решения задачи Коши:

Из (45) Þ y_i+1 = y_i + h f (x_i , y_i) (i = 0,1, …, n - 1); (50)

Из (46) Þ y_i+1 = y_i + h f (x_i+1, y_i+1) (i = 0,1, …, n - 1); (51)

Из (47) Þ y_i+1 = y_i-1 + 2h f (x_i, y_i) (i = 1,2…, n - 1); (52)

Из (48) Þ y_i+1 = 4y_i -3y_i-1 - 2h f (x_i-1 , y_i-1) (i = 1,2…, n - 1); (53)

Из (49) Þ y_i+1 = y_i - y_i-1 + f (x_i+1, y_i+1) (i = 1,2…, n - 1). (54)

Первые две схемы (50) и (51) являются явной и неявной схемой Эйлера, которые рассмотрены раньше, остальные методы (52) – (54) являются двухшаговыми.