Дивергенция вектора
Вернемся к рассмотрению течения жидкости и поля вектора скорости 
частиц жидкости. Представим в окрестности некоторой точки 
воображаемую замкнутую поверхность 
, ограничивающую объем 
. Если внутри в объеме жидкость не исчезает и не появляется, то линии вектора (они же линии тока жидкости) непрерывны, и 
.
Если 
, то это означает, что внутри есть источники, мощность которых равна 
(стоки рассматриваем как источники с отрицательной мощностью). Под мощностью источника подразумевается объем жидкости, выбрасываемый им в единицу времени. Отношение 
есть средняя удельная мощность источников в .
Поток вектора через поверхность и средняя удельная мощность источников в объеме интегрально, по объему , характеризует характер изменения поля и поведение вектора скорости частиц. Однако очень часто возникает необходимость более детального описания поведения поля вектора скорости, например интенсивности возникновения новых линий вектора в зависимости от координат. С этой целью естественно уменьшить мысленно объем . По определению предел отношения потока вектора 
через замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объем в окрестности заданной точки поля, к величине объема , при его стремлении к нулю, называют дивергенцией соответствующего вектора:
(13.12)
(можно говорить о пределе удельной мощности источников вектора).
Соответственно, по определению, для произвольного вектора 
дивергенцией называется величина
(13.13)
Геометрическая интерпретация потока вектора, как количества пересечений линий вектора с поверхностью, позволяет истолковать дивергенцию вектора 
, как функцию, равную плотности точек, в которых начинаются линии . В точках, где линии вектора заканчиваются дивергенция вектора отрицательна.
По смыслу 
характеризует распределение в пространстве источников силовых линий и определяет плотность мощности источников вектора. Произведение 
дает мощность источников в объеме 
.
Такое определение дивергенции не зависит от выбора системы координат, однако, неудобно для вычислений.
13.4 Выражение для 
в декартовой системе координат
Возьмем в окрестности точки бесконечно малый объем в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными осям координат величиной 
соответственно. Очевидно, что 
.
Найдем поток через поверхность, ограничивающую . Для смотрящей на нас грани параллелепипеда единичная внешняя нормаль 
совпадает с направлением оси 
. Поэтому проекция вектора на направление нормали к этой грани
, (13.14)
где 
проекция вектора на ось .
Для противоположной грани:
, (13.15)
Поскольку орт нормали 
направлен навстречу оси . Тогда суммарный поток вектора через грани, перпендикулярные оси :
. (13.16)
Изменение проекции на ось 
можно найти в виде:
. (13.17)
Поэтому поток через две грани
. (13.18)
Рассуждая аналогичным образом, для граней перпендикулярных двум другим осям системы координат, можно найти значения потоков:
и 
. (13.19)
Тогда поток через всю поверхность параллелепипеда
. (13.20)
Поэтому дивергенцию вектора в декартовой системе координат можно найти, воспользовавшись соотношением:
. (13.21)
13.5 Теорема Остроградского – Гаусса.
Знание в каждой точке пространства позволяет найти поток вектора через любую поверхность.
Поскольку для идеальной жидкости 
дает мощность источников в бесконечно малом объеме , то в заданном объеме конечных размеров мощность источников определяется соотношением 
.
Вся жидкость, порожденная источниками в объеме в единицу времени должна, в силу ее несжимаемости, выйти за пределы объема через его поверхность . Но объем жидкости, вытекающий через поверхность в единицу времени есть поток жидкости через поверхность , ограничивающую объем (в соответствии с определением потока вектора скорости частиц жидкости). Поэтому можно утверждать, что справедливо соотношение:
. (13.22)
Соотношение, аналогичное (13.22)справедливо для любого векторного поля:
, (13.23)
и носит название теоремы Остроградского – Гаусса.
Дата добавления: 2015-09-14; просмотров: 1213;