Дивергенция и ротор векторного поля
Определение дивергенции выглядит так:
,
где — поток векторного поля через сферическую поверхность площадью , ограничивающую объем .
Более общим является определение, когда форма области с поверхностью и объемом допускается любой. Единственное требование – нахождение поверхности внутри сферы радиусом, стремящимся к нулю, – не привязано к определенным координатам. Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трехмерном декартовом пространстве дивергенция поля будет определяться выражением:
.
Это же выражение можно записать с использованием оператора набла: .
Многомерная, а также двумерная и одномерная дивергенция определяется в декартовых координатах в пространствах соответствующей размерности совершенно аналогично (в верхней формуле меняется лишь количество слагаемых, а нижняя остается той же, подразумевая оператор набла подходящей размерности).
С точки зрения физики, дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или стоком этого поля:
– точка поля является источником;
– точка поля является стоком;
– стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга.
Например, если в качестве векторного поля взять совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет местоположение вершин и впадин, причем на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся).
Еще одним, быть может, несколько схематическим, примером может служить озеро (для простоты — постоянной единичной глубины со всюду горизонтальной скоростью течения воды, не зависящей от глубины, давая, таким образом, двумерное векторное поле на двумерном пространстве). В такой модели родники, бьющие из дна озера, будут давать положительную дивергенцию поля скоростей течения, а подводные стоки (пещеры, куда вода утекает) — отрицательную дивергенцию.
Ротор векторного поля — вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру плоской площадки , перпендикулярной к этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:
. (1.14)
Нормаль к площадке направлена так, чтобы при вычислении циркуляции обход по контуру совершался против часовой стрелки.
В трехмерной декартовой системе координат ротор вычисляется следующим образом:
.
Когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.
Например, если в качестве векторного поля взять поле скоростей ветра на Земле, то в северном полушарии для антициклона, вращающегося по часовой стрелке, ротор будет направлен вниз, а для циклона, вращающегося против часовой стрелки — вверх. В тех местах, где ветры дуют прямолинейно и с одинаковой скоростью, ротор будет равен нулю (у неоднородного прямолинейного течения ротор ненулевой).
1.15. Дивергенция вектора магнитного поля
Отсутствие в природе магнитных зарядов приводит к тому, что линии вектора не имеют ни начала, ни конца. Поэтому поток вектора через замкнутую поверхность должен быть равен нулю. Таким образом, для любого магнитного поля и произвольной замкнутой поверхности имеет место условие:
.
Эта формула выражает теорему Гаусса для вектора : поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю.
Заменив поверхностный интеграл объемным, получим, что
.
Условие, к которому мы пришли, должно выполняться для любого произвольно выбранного объема . Это возможно только в том случае, когда подынтегральная функция в каждой точке поля равна нулю. Таким образом, дивергенция вектора всюду равна нулю:
. (1.15)
Получили теорему Гаусса для поля в дифференциальной форме.
Закон (1.15) является фундаментальным: он справедлив не только для постоянных, но и для переменных магнитных полей.
Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 3525;