Поток вектора

Понятие векторного анализа наиболее наглядны при рассмотрении поля вектора скорости текущей жидкости. Собственно они и возникли в процессе развития гидродинамики, и этим обусловлена терминология, используемая в векторном анализе.

Рассмотрим течение идеальной жидкости, т.е. жидкости несжимаемой, молекулы которой взаимодействуют абсолютно упруго.

По определению, объемжидкости, протекающий в единицу времени через некоторую воображаемую поверхность называется потоком жидкости через S. Пусть скорость направленного движения частиц жидкости, пересекающих поверхность , равна . Выделим мысленно на поверхности элемент и будем считать, что он настолько мал, что в его пределах скорость направленного движения частиц жидкости одинакова. Ориентацию в пространстве этого элемента зададим ортом нормали к нему . За время через пройдет жидкость, заключенная в объеме

(13.02)

Следовательно, по определению потока, элементарный поток через :

(13.03)

Устремив размеры элемента поверхности к нулю ( → 0), получим соотношение:

(13.04)

Формула (13.04) в соответствии с определением скалярного произведения векторов эквивалентна следующим:

. (13.06)

Тогда поток жидкости через всю поверхность должен определяться соотношением:

(13.07)

Распространив этот подход на все векторные поля, можем сформулировать определение потока произвольного вектора через поверхность :

Основные свойства потока вектора: скалярная алгебраическая величина, знак которой зависит от выбора направления нормали к .