Тема 1. 5. Произвольная пространственная система сил.

1.5.1. Пространственная система сходящихся сил.

1.5.2. Момент силы относительно оси.

1.5.3. Условия равновесия системы сил, как угодно расположенных в пространстве.

1.5.1. Система сил, линии действия которых расположены в различных плоскостях, называется пространственной системой сил. Пространственная система сил называется сходящейся, если линии действия всех сил системы пересекаются в одной точке. Аналогично плоской системе (см. стр. 15, п. 1.4.2.) сил её можно свести к системе сил, приложенных в одной точке и сложить по правилу многоугольника. Следует отметить, что силовой многоугольник пространственной системы сил не лежит в одной плоскости, поэтому для нахождения равнодействующей чаще применяется аналитический метод, а не графический.

Аналитическое определение равнодействующей системы сходящихся сил, т.е. определение модуля и направления искомого вектора путём вычисления, основано на применении метода проекции.

Проекция равнодействующей системы сходящихся сил на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций составляющих сил на эту ось:

(1.5.1.)

где - проекции, соответственно, сил на ось Ox; - проекции, соответственно, сил на ось Oy, - проекции, соответственно, сил на ось Oz.

Модуль равнодействующей пространственной системы сходящихся сил определяется формулой

(1.5.2.)

Углы между равнодействующей и координатными осями, а следовательно, и направление равнодействующей определяется формулами

(1.5.3.)

Примечание. Для нахождения проекции вектора (вектора ) на ось (ось х ), не лежащую с ним в одной плоскости, иногда бывает удобнее спроецировать сначала этот вектор на плоскость (рис. 1.5.1.), в которой лежит данная ось, а затем уже найденную проекцию (проекция ) вектора на плоскость спроецировать на данную ось (способ двойного проецирования). Проекция вектора (проекция ) на ось есть скалярная алгебраическая величина. Проекция же вектора на плоскость есть величина векторная и, следовательно характеризуется не только своим значением, но и направлением на плоскости проекции.

Если пространственная система сходящихся сил находится в равновесии, то равнодействующая этой системы сил равна нулю, а следовательно, равны нулю и проекции равнодействующей

Отсюда вытекают следующие условия равновесия пространственной системы сходящихся сил: для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на каждую из трёх координатных осей равнялась нулю.

1.5.2. Прежде чем перейти к рассмотрению условий равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил, дадим определение момента силы относительно оси.

Моментом силы относительно какой-либо оси называется величина, характеризующая вращательный эффект данной силы относительно этой оси. Момент силы относительно оси равен моменту проекции этой силы на плоскость (рис. 1.5.2.), перпендикулярную к данной оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью:

.

Тот или иной знак в этой формуле определяется по следующему правилу: если для наблюдателя, смотрящего на плоскость П с положительной стороны оси z, проекция силы на плоскость П представляется вращающейся вокруг оси z против часовой стрелки, то момент считается положительным (рис. 1.5.2.); в противном случае его считают отрицательным.

Заметим, что

1) момент силы относительно данной оси не изменяется при перенесении силы вдоль её линии действия;

2) момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы и ось лежат в одной плоскости.

1.5.3. Способ приведения сил к одному центру, рассмотренный в п. 1.4.2. (стр. 18) для плоской системы сил, вполне применим и для системы сил, расположенных как угодно в пространстве. Используя теорему Пуансо, можно любую пространственную систему сил заменить одной силой, равной главному вектору системы и приложенной в произвольной точке О, и парой, момент которой равен главному моменту данной системы сил относительно той же точки:

Для равновесия системы сил, расположенных как угодно в пространстве, необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю как главный вектор этой системы, так и её главный момент относительно произвольно выбранного центра приведения. Этим условиям можно придать и более удобную для практических целей аналитическую форму:

Для равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на каждую из трёх осей координат была равна нулю и чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил относительно каждой из осей была равна нулю.

Заметим, что при составлении уравнений моментов нет необходимости в том, чтобы оси, относительно которых берутся моменты сил, совпадали с осями проекций. Для простоты решения уравнений рекомендуется ось проекций располагать перпендикулярно к линии действия одной из неизвестных сил, вследствие чего проекции этой силы исключаются из соответствующего уравнения проекций. Ось моментов рекомендуется выбирать лежащей в плоскости одной из неизвестных сил. Тогда момент этой силы относительно данной оси равен нулю. Одним словом, оси всегда нужно выбирать так, чтобы в каждое из шести уравнений равновесия вошло возможно меньшее число неизвестных.

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение момента силы относительно оси.

2. При каком условии момент силы относительно данной оси имеет наибольшее числовое значение? При каком условии момент относительно оси равен нулю?

3. Что называется главным вектором и главным моментом произвольной системы сил в пространстве?

4. Запишите уравнения равновесия произвольной системы сил в пространстве.

5. Какие из показанных на рисунке 1.5.3. сил (силы и разложены на составляющие) создают: а) момент относительно оси х; б) момент относительно оси y; в) вращающий момент относительно оси z (оси вращения вала)?

6. Сохраняя направление координатных осей x, y, z неизменным (рис. 1.5.3.), переместили начало координат из центра колеса 1 в центр колеса 2. Изменятся ли при этом: а) проекции сил на оси; б) моменты сил относительно осей?