Тангенсальная составляющая ускорения

(1.7.5.)

т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.

Найдём вторую составляющую ускорения. Можно доказать, что при векторы и оказываются взаимно перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор , перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру её кривизны. Вторая составляющая ускорения, равная

, (1.7.6.)

называется нормальной составляющей ускоренияи направлена по нормали к траектории к центру её кривизны (поэтому её называют также центростремительным ускорением).

Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенсальной и нормальной составляющих (рис. 1.7.6.):

. (1.7.7.)

В зависимости от тангенсальной и нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать следующим образом:

1) , - прямолинейное равномерное движение;

2) , - прямолинейное равнопеременное движение;

3) , - прямолинейное движение с переменным ускорением;

4) , - равномерное движение по окружности;

5) , - равномерное криволинейное движение;

6) , - криволинейное равнопеременное движение;

7) , - криволинейное движение с переменным ускорением.

Вопросы для самопроверки.

1. Что называется материальной точкой? Почему в механике вводят такую модель?

2. Что такое система отсчёта?

3. Что такое вектор перемещения? Всегда ли модуль вектора перемещения равен отрезку пути, пройденному точкой?

4. Дать определение векторов средней скорости и среднего ускорения, мгновенной скорости и мгновенного ускорения.

5. Что характеризует тангенсальная составляющая ускорения? Нормальная составляющая ускорения? Каковы их модули?

6. Возможны ли движения, при которых отсутствует нормальное ускорение? Тангенсальное ускорение? Приведите примеры.

Тема 1.8. Частные случаи движения точки.

1.8.1. Равномерное движение.

1.8.2. Равнопеременное движение.

1.8.1. Движение точки называется равномерным, если за любые равные промежутки времени точка проходит равные расстояния. Модуль скорости точки при этом движении . Отсюда следует, что при прямолинейном равномерном движении точки путь .

Если в начальный момент точка находилась не в начале отсчёта расстояний, а на некотором расстоянии от него, то расстояние точки от начала отсчёта в момент времени t будет равно

. (1.8.1.)

Это уравнение определяет закон равномерного движения точки.

Так как расстояние точки от начала отсчёта изменяется во времени по линейному закону, то графиком движения точки является прямая линия (рис. 1.8.1.). По графику движения точки можно найти не только расстояние точки от начала отсчёта, но и скорость этого движения (рис. 1.8.1.):

.

Так как при равномерном движении точки численное значение скорости постоянно, то графиком скорости равномерного движения будет прямая, параллельная оси времени (рис. 1.8.2.).

Если точка совершает криволинейное равномерное движение, то она имеет, как уже было сказано, только нормальное ускорение , где - радиус кривизны траектории. Если же точка совершает прямолинейное равномерное движение, то она вообще не имеет ускорения, т.е. .

1.8.2. Движение точки называется равнопеременным, если за равные, произвольно взятые промежутки времени модуль скорости точки изменяется на одну и ту же величину.

Изменение скорости точки по модулю характеризуется, как мы знаем, касательным ускорением. Отсюда следует, что при равнопеременном движении точки значение касательного ускорения . Поэтому, разделяя переменные в уравнении (1.7.4.) и интегрируя, получим формулу для скорости равнопеременного движения точки

, (1.8.2.)

где - модуль начальной скорости, т.е. скорости в момент времени t=0. Значение касательного ускорения будем считать положительным при ускоренном движении и отрицательным (касательное ускорение направленно в сторону, противоположную направлению начальной скорости) при замедленном движении. Если , то движение будет равнозамедленным до тех пор, пока скорость не сделается равной нулю.

Закон равнопеременного движения точки имеет вид:

. (1.8.3.)

Примером равнопеременного движения точки может служить движение тела по вертикали под действием силы тяжести. Из физики известно, что под действием постоянной силы тело получает постоянное ускорение. Если пренебречь сопротивлением воздуха и изменением силы тяжести в зависимости от высоты тела, то можно считать, что ускорение свободно падающего или брошен­ного вертикально вверх тела, обычно обозначаемое бук­вой g, постоянно. Ускорение это изменяется с изменением географической широты и высоты места над уровнем моря, но изменение это незначительно, и потому им обычно пренебрегают, принимая за ускорение свободно падающего тела g=9,81м/с². Полагая в формулах (1.8.2.) и (1.8.3.) уско­рение = g и

S = h,получаем формулы для движения тела по вертикали под действием силы тяжести:

, (1.8.4.)

. (1.8.5.)

В этих формулах перед ускорением g надо брать знак плюс в случае свободного падения тела (равноуско­ренное движение) и знак минус для движения тела, бро­шенного вертикально вверх (равнозамедленное дви­жение).

В случае, если тело начинает падать без начальной скорости, то и предыдущие формулы принимают вид

и .

Исключая из этих равенств время t, находим

.

Отсюда получается хорошо известная формула Галилея

, (1.8.6.)

где v — скорость тела при падении его без начальной скорости с высоты .

Так как формулы (1.8.4.), (1.8.5.) и (1.8.6.) выведены из усло­вия движения тела в пустоте (при отсутствии сопротив­ления воздуха), то ими можно пользоваться в реальных условиях только в тех случаях, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь, т.е. когда вес тела велик по сравнению с силой сопротивления воздуха, а высота невелика.

Тема 1.9. Простейшие виды движения твёрдого тела.

1.9.1. Поступательное движение твёрдого тела.

1.9.2. Вращательное движение твёрдого тела относительно неподвижной оси.

1.9.3. Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твёрдого тела.

1.9.4. Передачи вращательного движения.

1.9.1. Поступательным движениемтвердого тела называется такое движение, при котором всякая прямая, неизменно связанная с этим телом, движется, оставаясь параллель­ной своему натлыному положению.

Примерами поступательного движения тела могут слу­жить: движение кузова автомашины, движущейся по пря­молинейному пути, движение поршня двигателя и т. д. Неправильно, однако, ду­мать, что при поступа –тельном движении тела траектории его точек должны быть непре­менно прямыми линиями. Так, например, спарник АВ (рис. 1.9.1.), соединяющий кривошипы и двух соседних колее паровоза, совершает поступательное дви­жение, хотя его точки и будут двигаться по окружностям. В самом деле, при вращении кривошипов и во­круг их осей и положение спарника АВ будет изме­няться. Но при равенстве длин кривошипов и при длине спарника, равной расстоянию между осями , четырех­угольник будет всегда оставаться параллелограм­мом, следовательно, спарник АВ будет всегда параллельным основанию , т. е. движется, оставаясь параллельным своему начальному положению. В то же время точки А и В спарника, а следовательно, и все остальные его точки движутся по окружностям, радиус которых равен длине кривошипа.

Траекториями точек тела при его поступательном дви­жении могут быть какие угодно кривые: прямолинейное движение тела есть только частный случай поступатель­ного движения.

Заметим также, что термин «поступательное движение» применим только к движению тела, но не к движению одной точки. Понятие «движется, оставаясь параллельной своему начальному положению» никак не применимо к точке, не имеющей размеров.

Теорема. При поступательном движении твердого тела все его точки движутся по одинаковым (при наложении совпадающим) траекториям и имеют в каждый данный момент равные скорости и равные ускорения.

Из теоремы следует, что поступательное движение тела вполне определяется движением какой-либо одной его точки.Таким образом, задача изучения поступательного движения твёрдого тела сводится к уже рассмотренным ранее задачам кинематики точки.

Скорость и ускорение, общие для всех точек поступательно движущегося тела, называются скоростью и ускорением этого тела.

Заметим, что говорить о скорости и ускорении тела можно только в случае его поступательного движения. Во всех остальных случаях различные точки тела имеют различные скорости и различные ускорения.

1.9.2. Вращательным движением называется такое движение твердого тела, при котором все его точки, лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения, остаются неподвижными. (Вращающееся тело может и не иметь своих точек на геомет­рической оси вращения, т. е. не иметь само неподвижных точек. Например, колесо, надетое на материальную ось, или человек, сидя­щий на карусели. Но если точки, расположенные на геометрической оси вращения, неизменно присоединить к вращающемуся телу, то они будут оставаться неподвижными при вращении тела.)

Для того чтобы осуществить вращательное движение тела, достаточно закрепить неподвижно две какие-нибудь его точки (например, при помощи под­шипника А и подпятника В, рис. 1.9.2.), тогда прямая, проходящая через эти две точки, будет осью вращения тела. При вращательном движении тела различные его точки движутся, вообще говоря, по-разному. Однако и для вра­щательного движения можно отыскать такие кинематические характеристики, которые были бы общими для всех точек тела.

Пусть какое-нибудь твердое тело (изображенное для простоты на рис. 1.9.2. в виде цилиндра) вращается вокруг неподвижной оси г. Проведем через ось вращения zнеподвижную полуплос­кость 1 и полуплоскость 11, неизменно связанную с вра­щающимся телом.

Угол между двумя полуплоскостями, проходящими через ось вращения тела, неподвижную и неизменно связанную с вращающимся телом, называется углом поворотатела.

Установим на оси вращения z положительное направ­ление и условимся считать угол поворота тела положи­тельным, когда он отсчитывается от неподвижной плос­кости 1 в сторону, противоположную вращению часовой стрелки, если смотреть на него с положительного конца оси вращения. Заданием величины и знака угла поворота вполне определяется положение полуплоскости 11 и неизменно связанного с ней вращающегося тела.

При вращении тела вокруг оси г угол поворота тела изменяется с течением времени, следовательно, он явля­ется некоторой функцией времени:

. (1.9.1.)

Уравнение (1.9.1.), устанавливающее зависимость между углом поворота тела и временем его движения, назы­вается уравнением вращательного движения тела. Этим уравнением вполне определяется вращательное движение тела, так как для каждого момента времени t можно найти соответствующее ему значение угла пово­рота тела и тем самым определить положение тела в этот момент.

Угол поворота в механике обычно измеряют в радианах. Иногда в практичес­ких задачах угол поворота выражают числом оборотов тела. Принимая во внимание, что один оборот тела, т. е. его поворот на 360°, соответствует радиан, мы получаем зависимость между углом поворота тела в радианах и числом его оборотов:

.

Пусть за некоторый промежуток времени угол получил приращение . Величина называется средней угловой скоростью тела за данный промежуток времени. Предел, к которому стремится средняя угловая скорость при стремящимся к нулю, называется угловой скоростью тела в данный момент времени ,

. (1.9.2.)

Значение угловой скорости тела для данного момента времени может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, в какую сторону вращается тело. Когда тело вращается против часовой стрелки, если смот­реть с положительного конца оси вращения, то и угловая скорость положительна. Если тело вращается по часовой стрелке, то угловая скорость отри­цательна. Следовательно, знак угловой скорости указыва­ет, в какую сторону в данный момент вращается тело.

Исходя из определения угловой скорости, можно найти и ее размерность:

.

Так как угол в механике измеряется в радианах, а время — в секундах, то угловая скорость измеряется в радианах в секунду ( ).

На практике часто угловую скорость тела выражают не в радианах в секунду, а так называемой частотой вращения, выраженной числом оборотов в минуту, обо­значая ее буквой . Нетрудно найти зависимость между и .

Так как один оборот тела соответствует его повороту на угол в радиан, то

Таким образом, получаем важную для практики зави­симость между угловой скоростью тела в радианах в секунду и его угловой скоростью п в оборотах в минуту:

(1.9.3.)

Нужно помнить, что в этой формуле всегда выра­жается в рад/с, а п — в об/мин.

Если тело вращается неравномерно, т. е. если прира­щения угла поворота тела за равные промежутки вре­мени не равны, то его угловая скорость изменяется с течением времени и будет являться, следовательно, также некоторой функцией времени:

.

Величина, характеризующая быстроту изменения угло­вой скорости тела, называется его угловым ускорением.

Пусть за некоторый промежуток времени угловая скорость получила приращение . Величина называется средним угловым ускорением тела за данный промежуток времени . Предел, к которому стремится среднее угловое ускорение при стремящемся к нулю, называется угловым ускорением тела в данный момент времени ,

. (1.9.4.)

Учитывая формулу (1.9.2.), получим для углового ускорения:

. (1.9.5.)

Единица углового ускорения в Международной системе единиц (СИ) – радиан в секунду в квадрате ( ).

Если , то , если , то . В том случае, когда знаки угловой скорости и углового ускорения совпадают, вращательное движение называется ускоренным, когда противоположны – замедленным.

1.9.3. При вращении тела вокруг неподвижной оси все его точки описывают окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения z. Центры этих окружностей лежат на оси вращения и, следовательно, радиус каждой из них равен расстоянию соответствующей точки тела от оси вращения.

Очевидно, что радиусы всех данных окружностей по­ворачиваются за один и тот же промежуток времени на один и тот же угол , равный приращению угла поворота тела за этот промежуток времени, однако точки, лежащие на разных расстояниях от оси вращения (точки и на рис. 1.9.3.), опишут при этом дуги различной длины.

Зная угловую скорость тела и расстояние какой-нибудь точки М тела от оси вращения, можно найти и скорость этой точки (Скорость точки вращающегося тела, характеризующую своим модулем быстроту ее движения по дуге траектории (измеряемой в линейных единицах), иногда называют линейной скоростью в отличие от угловой скорости тела, характеризующей быстроту изменения угла его поворота.):

Численное значение скорости точки вращающегося тела равно произведению угловой скорости тела на расстояние данной точки от оси вращения:

(1.9.6.)

Направлен вектор скорости точки по касательной к траектории точки, следовательно, перпендикулярно к ее радиусу вращения, в сторону движения точки. Из фор­мулы (1.9.6.) следует, что скорости точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям этих точек от оси вращения.

Учитывая формулу (1.9.3.) ,получим для линейной скорости:

, (1.9.7.)

где d—диаметр вращающегося цилиндрического тела, п— число оборотов тела в минуту.

При любом вращательном движении тела скорость v его точек непременно изменяется (только по направлению при равномерном вращательном движении или по направ­лению и по модулю при неравномерном вращательном движении), следовательно, точки вращающегося тела всегда движутся с некоторым ускорением.

Ускорение точки вращающегося тела, как и ускорение всякого криволинейного движения, может быть разложено на касательное ускорение и нормальное ускорение :

, (1.9.8.)

(1.9.9.)

Направление вектора касательного ускорения точки совпадает с направлением вектора ее скорости при ускоренном вращении тела (рис. 1.9.4., А) и противоположно скорости в случае замедленного вращения (рис. 1.9.3., Б). Вектор же нормального ускоре­ния точки всегда направлен по ра­диусу окружности, описываемой точ­кой, к центру этой окружности (рис. 1.9.4.).

Зная касательное и нормальное ускорения точки, всегда можно (при необходимости) найти модуль и на­правление ускорения , являющего­ся диагональю прямоугольника, по­строенного на векторах и (рис. 1.9.4.):

. (1.9.10.)

1.9.4. Передача вращательного движения от одной машины к другой или внутри машины от одного ее вала к другому осуществляется разнообразными механизмами, носящими название передач.

Передачи могут быть разделены на передачи гибкой связью (ременную, канатную, цепную) и передачи, осу­ществляемые путем непосредственного соприкосновения (фрикционную, зубчатую и др.).

Валы и закрепленные на них шкивы и колеса называются ведущими, когда они передают движение, и ведомыми, когда они его воспринимают.

Отношение угловых скоростей двух валов (шкивов или колес) называется передаточным отношением.

Так как угловая скорость тела в рад/с пропорцио­нальна (формула (1.9.3.) ) его угловой скорости n в об/мин, то, обозначая передаточное отношение буквой и с соответ­ствующим двойным индексом, будем иметь

или .

1. Передаточное отношение ременной передачи равно об­ратному отношению радиусов (или диаметров) шкивов.

.

2. Передаточное отношение цилин­дрической фрикционной передачи равно обратному отноше­нию радиусов (или диаметров) колес:

.

3. Передаточное отношение двух находящихся в зацепле­нии зубчатых колес равно обратному отношению их чисел зубьев.

Многоступенчатой передачей называется механизм, состоящий из ряда соеди­ненных между собой простых передач.

На рис. 1.9.5. изображена в качестве примера схема многоступенчатой передачи от вала 1 к валу 5, состоящей из ременной передачи, двух пар цилиндрических зубчатых колес и одной пары конических зубчатых колес.

Шкивы и колёса жёстко закреплены на соответствующих валах (это обозначено на схеме крестиками). Диаметры шкивов и . Числа зубьев колёс обозначены буквой z с соответствующими индексами.

Передаточное отношение данной передачи .

Передаточные отношения простых передач, входящих в состав данной многоступенчатой передачи,

, , , .

Перемножив почленно передаточные отношения, найдём

.

Таким образом, передаточное отношение многоступенчатой передачи равно произведению передаточных отношений всех входящих в её состав простых передач:

.

Передаточное отношение многоступенчатой передачи можно вычислить, зная, как определяются передаточные отношения простых передач, входящих в её состав.

Для двухступенчатой передачи цилиндрическими зуб­чатыми колесами от вала 2к валу 4, изображенной на рис. 1.9.5, передаточное отношение

.

Для всей многоступенчатой передачи от вала 1 к ва­лу 5абсолютное значение передаточного отношения

.

Пример 1. Шкив 2 приводит­ся в движение из состояния покоя бесконечным ремнем от шкива 1 дви­гателя. Диаметры шкивов: , ; угловое ускорение шкива 1 в период пуска двигателя постоянно и равно рад/с². Определить частоту вра­щения шкива 2 через 15 с после начала движения.

Решение. Так как угловое ускорение постоянно, то угловая скорость шкива 1 через 15 с после пуска двигателя рад/с.

Передаточное отношение между шкивами

.

Отсюда угловая скорость шкива 2через 15 секунд

рад/с

и тогда его частота

об/мин.

Данную задачу можно было бы решить и иначе. Отношение угловых ускорений двух валов также равно передаточному отношению между ними: . Пользуясь этим, можно было бы, не определяя угловой скорости шкива 1, определить по передаточному отношению угловое ускорение шкива2, а затем его угловую скорость по формуле .

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение поступательного движения твёрдого тела.

2. Что можно сказать о траекториях, скоростях и ускорениях точек тела, совершающего поступательное движение?

3. Какое движение твёрдого тела называется вращательным?

4. Что называется угловой скоростью? Угловым ускорением? Как определяется из направление?

5. Какое вращательное движение называется ускоренным, какое замедленным?

6. Какова связь между линейными и угловыми величинами?