Тема 1.11. Сложное движение твёрдого тела.

1.11.1.Ппонятие сложного движения тела.

1.11.2. Понятие плоскопараллельного движения тела.

1.11.3.Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное .

1.11.4. Скорость точки плоской фигуры.

1.11.5. Мгновенный центр скоростей фигуры.

1.11.6. Сложение вращений вокруг параллельных осей.

1.11.7. Планетарные и дифференциальные передачи

1.11.1.Понятие сложного движения тела аналогично поня­тию сложного движения точки. В ряде случаев движе­ние тела относительно неподвижной системы отсчета удобно рассматривать как движение сложное, состоящее из двух движений: относительного, т. е. движения тела по отношению к некоторой подвижной системе отсчета, и переносного—движения тела вместе с подвижной си­стемой отсчета по отношению к неподвижной.

Всякое сложное движение тела можно свести к той или иной совокупности поступательных и вращательных движений, являющихся не только простейшими, но и ос­новными видами движения твердого тела. Задача опре­деления абсолютного движения тела сводится обычно поэтому к задаче сложения или поступательных движе­ний, или вращательных движений, или вращательного и поступательного движений, в зависимости от того, ка­кими движениями будут переносное и относительное дви­жения тела. Некоторые, особо важные для практики, частные случаи такого сложения движений тела и рас­сматриваются в данной теме, например способы опреде­ления абсолютных скоростей его точек в данный момент времени.

1.11.2.Плоскопараллельным или плоским движением твердого тела называется такое движение твердого тела, при ко­тором все его точки движутся в плоскостях, параллель­ных некоторой неподвижной плоскости.

Частным случаем такого движения является уже изу­ченное нами вращение твердого тела вокруг неподвиж­ной оси. При вращательном движении, как мы знаем, все точки тела движутся в плоскостях, перпендикуляр­ных к оси вращения, и, следовательно, любая из этих плоскостей может быть принята за неподвижную, парал­лельно которой движутся все точки тела. В ряде случаев плоскопараллельное движение тела может быть одновременно и поступательным движением. Однако поступательное движение нельзя, вообще говоря, рассматривать как частный случай плоскопараллельного движения. Не всякое поступательное движение тела есть плоскопараллельное движение, так же как и не всякое плоскопараллельное движение тела есть поступательное движение.

Плоскопараллельное движение имеет огромное распро­странение в технике. Подавляющее большинство встре­чающихся на практике механизмов являются плоскими, т. е. представляют собой сочленение твердых тел, совер­шающих плоскопараллельное движение. Таково, например, движение всех звеньев кривошипно-ползунного механизма (рис. 1.11.1) , состоящего из кривошипа ОА, ползуна В и шарнирно соединенного с ними шатуна АВ. Все точки каждого из звеньев движутся па­раллельно некоторой неподвижной плоскости (плоскости чертежа на рис. 1.11.1). Плоскопараллельное движение кривошипа является вместе с тем и вращательным дви­жением вокруг неподвижной оси О. Плоскопараллельное движение ползуна одновременно и поступательное движе­ние вдоль неподвижных направляющих. Плоскопарал­лельное же движение шатуна не будет ни вращательным (так как шатун не имеет непод­вижных точек), ни поступатель­ным (так как прямая АВ не ос­тается при движении шатуна параллельной самой себе).

Выясним теперь, как можно упростить изучение этого весьма важного вида движения твердого тела. Пусть тело движется параллельно некото­рой неподвижной плоскости П (рис. 1.11.2). Если мы пересечем данное тело плоскостью П', параллельной неподвижной плоскости П, то в сечении по­лучится какая-то плоская фигу­ра S. Эта фигура будет переме­щаться при движении тела, ос­таваясь вcё время в той же плос­кости П'. Очевидно, что при таком движении тела все его точки, лежащие на перпендикуляре Аа к плоскости фигуры S, восставленном в какой-нибудь ее точке а, дви­жутся совершенно одинаково, так же, как и точка а этой фигуры. Все точки тела, лежащие на перпендикуляре Вb, движутся так же, как и точка b фигуры S, и т. д.

Отсюда следует, что для определения плоскопараллель­ного движения тела достаточно знать движение неизме­няемой плоской фигуры, получающейся при пересечении тела какой-либо плоскостью, параллельной данной непод­вижной плоскости.

Изучением движения этой плоской фигуры в ее пло­скости можно заменить, следовательно, изучение плоско­параллельного движения тела.

Заметим также, что положение на плоскости неизме­няемой плоской фигуры вполне определяется положением двух любых ее точек или, что все равно, положением какого-либо, прямолинейного отрезка, неизменно связанного с движу­щейся фигурой. Допустим, что при перемещении этой фигуры неизменно связанный с нею от­резок занял в той же плос­кости положение (рис. 1.11.3.). Так как расстояние DEи Слюбой точки Eфигуры от данных ее точек Dи С неиз­менны, то новое положение этой точки легко определя­ется построением треугольника , равного .

1.11.3. Пусть неизменно связанная с плоской фигурой про­извольная прямая перемещается при движении этой фи­гуры за некоторый промежуток времени из положения АВ в положение А'В' (рис. 1.11.4.).

Это перемещение плоской фигуры можно представить себе составленным из поступательного и вращательного перемещений (рис. 1.11.4.). В самом деле, перемещение прямой АВ в положение А'В' можно было бы получить поступательным ее перемещением в положение А'В" или А"В' и вращательным перемещением этой прямой вокруг оси, проходящей соответственно через точ­ку А' или точку В' и перпендикулярной к плоскости фигуры.

Произвольная точка, связанная с движущейся фигу­рой и принимаемая за центр ее поворота, называется по­люсом. Нетрудно доказать, что, выбирая различные полю­сы, мы изменяем только поступательную часть перемещения фигуры, угол же поворота и направление вращения фи­гуры от выбора полюса не зависят.

Таким образом, мы приходим к выводу: всякое дви­жение плоской фигуры в ее плоскости можно разложить на два движения: 1) поступательное движение вместе с произвольно выбранной точкой фигуры (полюсом) и 2) вра­щательное движение вокруг этой точки.

Так как угол поворота фигуры и направление ее вращения не зависят от выбора по­люса, то и угловая скорость плоской фи­гуры от выбора полюса не зависит.

1.11.4. Пусть плоская фигура S движется в своей плоскости (рис. 1.11.5.). примем какую-либо произвольную точку А фигуры S за полюс. Тогда можно считать, что по отношению к неподвижной системе отсчёта (связанной с плоскостью, в которой движется фигура) любая другая точка В фигуры участвует одновременно в двух движениях: переносном- вместе с фигурой в её поступательном движении со скоростью выбранного полюса и оросительном движении вокруг полюса А.Тогда скорость (абсолютная скорость) любой точки B плоской фи­гуры в каждый данный момент равна геометрической сумме двух скоростей: скорости другой, произвольно вы­бранной, точки A фигуры (полюса) и вращательной скоро­сти первой точки B относительно второй точки A:

.

Определив вращательную скорость точки В отно­сительно полюса и зная скорость самого полюса, находим искомую скорость точки В как диагональ парал­лелограмма, построенного на векторах и остав­ляющих скоростей (рис. 1.11.5.).

Обычно за полюс принимается та точка фигуры, скорость которой в данный момент нам известна.

1.11.5. Можно доказать, что при всяком движении плоской фи­гуры (кроме поступательного) всег­да можно отыскать такую точку, лежащую или на самой движущей­ся фигуре, или на ее мысленном продолжении, скорость которой в данный момент равна нулю.

Неизменно связанная с движущей­ся плоской фигурой точка Р, скорость которой в данный момент времени равна нулю, называется мгновенным центром скоростей этой фигуры. Мгновенный центр Р скоростей фигуры всегда лежит на линии, проведен­ной из какой-либо точки фигуры перпендикулярно к нап­равлению скорости этой точки. Если известны направления скоростей двух каких-либо точек фигуры, то мгновенный центр Р скоростей этой фигуры легко находится как точка пересечения линий, проведенных из данных точек фигуры перпендикулярно к векторам скоростей этих точек (рис. 1.11.6.).

Принимая мгновенный центр Р скоростей фигуры за полюс, легко найти скорости всех остальных точек фи­гуры в этот момент времени: . Следовательно, скорость любой точки плоской фигуры равна вращательной скорости этой точки вокруг мгно­венного центра скоростей фигуры. Тогда , т.е. модули скоростей различных точек фигуры в каждый данный момент пропорциональны расстояниям этих то­чек от соответствующего данному моменту мгновенного центра скоростей фигуры. Направлены же скорости раз­личных точек фигуры перпендикулярно к отрезкам, со­единяющим соответствующие точки с мгновенным центром скоростей, в сторону вращения фигуры (рис. 1.11.6.). Таким образом, скорости различных точек плоской фигуры в каждый данный момент времени распределяются так, как если бы фигура вращалась в этот момент вре­мени вокруг мгновенного центра скоростей, занимающего в разные моменты различные положения как относительно движущейся фигуры, так и относительно неподвижной плоскости, в которой движется фигура.

Найдя положение мгновенного центра скоростей Р и зная для данного момента скорость какой-либо точки А фигуры не только по направлению, но и по модулю, легко найти и угловую скорость фигуры, соответствующую этому моменту времени. Угловая скорость фигуры в каждый момент равна от­ношению модуля соответствующей этому моменту ско­рости какой-либо точки фигуры к расстоянию от этой точки до мгновенного центра скоростей:

Направление же вращения фигуры определяется извест­ным направлением скорости ее точки.

Указанный выше прием определения мгновенного центра скоростей фигуры как точки пересечения перпендикуляров, вос­ставленных к векторам скоростей двух точек фигуры, неприменим, очевидно, в тех случаях, когда эти скорости парал­лельны. При этом возможны два случая.

1. Скорости двух точек А и В фигу­ры параллельны, но эти точки не лежат на одном перпендикуляре к направлению данных скоро­стей (рис. 1.11.7.).

Расстояния данных точек от мгновенного центра скоростей . Угловая скорость фигуры в данный момент , и вращение фигуры в этот момент, следовательно, отсут­ствует. А так как всякое абсолютное плоское движение фигуры можно рассматривать как совокупность поступа­тельного движения со скоростью произвольно выбранного полюса и вращательного движения вокруг этого полюса (с угловой скоростью , независящий от выбора полюса), то абсолютные скорости точек фигуры в данном случае равны только скорости полюса. Другими словами, в этом случае фигура совершает в данный момент поступательное движение, и скорости всех её точек в этот момент равны между собой.

2. Скорости двух точек А и В фигуры параллельны, и эти точки лежат на одном перпендикуляре к направ­лению данных скоростей (рис. 1.11.8.).

Так как мгновенный центр скоростей всегда лежит на перпендикуляре, восставленном в любой точке фигуры к направлению ее скорости, а мо­дули скоростей различных то­чек фигуры в каждый данный момент пропорциональны рас­стояниям этих точек от мгно­венного центра, то положение этой точки Р на перпендикуля­ре может быть найдено из про­порции (рис. 1.11.8.).

Если при этом то фигура совершает в дан­ный момент поступательное движение (так же как и в предыдущем случае).

В практических задачах часто приходится иметь дело со случаями, когда плоская фигура движется так, что ее контур катится без скольжения по некоторой неподвиж­ной кривой. Так как в каждый данный момент у движу­щейся плоской фигуры может быть только одна точка, имеющая скорость, равную нулю, а при качении без скольжения таковой является точка фигуры, в которой она касается неподвижной кривой, то при качении скольжения контура фигуры по неподвижной кривой мгно­венным центром скоростей будет точка касания этого контура с неподвижной кривой.

1.11.6. Абсолютное движение тела., участвующего в двух вращениях вокруг параллельных осей, есть частный случай плоскопараллельного движения тела, и для его определения достаточно рассмотреть движение плоской фигуры S (рис. 1.11.9.), являющейся сечением тела плоскостью, перпендикулярной к данным осям.

Движение же плоской фигуры в ее плоскости можно, как известно, рассматривать в каждый данный момент как вращательное движение этой фигуры вокруг соответст­вующего этому моменту мгновенного центра в некоторой абсолютной угловой скоростью со. При определении поло­жения мгновенного центра скоростей фигуры и ее абсо­лютной угловой скорости могут быть три случая, каждый из которых мы и рассмотрим.

I случай. Оба вращения направлены в одну сторону (рис. 1.11.9. ). Обозначим следы осей и в плоскости фигуры S точками и .

· Два вращения, происходящих вокруг параллельных осей в одну сторону, можно в каждый данный момент заменить одним вращением, происходящим в ту же сто­рону вокруг мгновенной оси, параллельной данным осям, лежащей в одной плоскости с ними и делящей расстояние между ними на части, обратно пропорциональные угло­вым скоростям составляющих вращений:

.

· Абсолютная угловая скорость тела равна сумме угловых скоростей составляющих вращений:

.

II случай. Оба вращения направлены в разные сто­роны с различной угловой скоростью (рис. 1.11.10.).

· Два вращения, происходящие вокруг параллельных осей в разные стороны с различными угловыми скоростями, можно заменить в каждый данный момент одним враще­нием, происходящим вокруг мгновенной оси, параллельной данным, в сторону вращения с большей угловой скоростью. Мгновенная ось сложного вращения лежит в одной пло­скости с данными осями за осью с большей угловой ско­ростью и отстоит от данных осей на расстояниях, об­ратно пропорциональных угловым скоростям составляющих вращений:

.

· Абсолютная угловая скорость тела равна разности угловых скоростей составляющих вращений:

.

III случай. Оба вращения направлены в разные стороны, а их угловые скорости равны по численному значению (рис. 1.1.11.).

· Два вращения тела, происходящие вокруг параллель­ных осей в разные стороны с равными угловыми скоро­стями, можно заменить в данный момент одним посту­пательным его движением, происходящим в направлении, перпендикулярном к плоскости, проведенной через оси со­ставляющих вращений.

· Модуль скорости поступательного движения тела равен при этом в данный момент произведению угловой скорости одного из вращений на кратчайшее расстоя­ние между осями составляющих вращений:

.

1.11.7. Планетарными и дифференциальными передачами на­зываются механизмы, в которых имеются колеса с подвиж­ными осями, вращающимися вместе с так называемым водилом (Н на рис. 1.11.12.) вокруг неподвижной оси.

Колеса, геометрические оси которых неподвижны, на­зываются центральными.

Колеса с подвижными геометрическими осями назы­ваются сателлитами.

Колеса с подвижными осями (2 и 3 на, рис. 1.11.12.) совер­шают сложное движение, вращаясь одновременно вокруг своих осей ( и ), закрепленных на води­ле, и вместе с водилом вокруг его неподвижной оси . Движение этих колес подобно движе­нию планет Солнечной системы, почему они и получили название сателлитов (спутников), а сам механизм—назва­ние планетарного механизма. По тем же соображениям центральное колесо называют иногда солнечным.

Планетарные механизмы, в которых одно из централь­ных колес неподвижно, называются простыми планетарными передачами или, чаще, просто планетарными передачами. В отличие от простых планетарных передач, плане­тарные механизмы, в которых нет неподвижных колес, называются дифференциальными передачами или просто дифференциалами. В дифференциальных передачах одно из центральных колес получает вращение вокруг своей неподвижной оси независимо от вращения водила, т. е. получает его от другого источника.

Планетарные и дифференциальные механизмы имеют широкое распространение в технике, так как позволяют осуществить большие передаточные отношения при малом числе колес и (в дифференциальных механизмах) сложение двух независимых друг от друга угловых скоростей.

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение плоскопараллельного движения.

2. Расскажите о подходе к изучению плоскопараллельного движения.

3. Сформулируйте теорему о представлении движения плоской фигуры поступательным перемещением и поворотом.

4. Как выражается скорость произвольной точки плоской фигуры через скорость полюса и скорость вращения вокруг полюса?

5. Дайте определение мгновенного центра скоростей.

6. Расскажите об основных приёмах нахождения мгновенного центра скоростей.

7. Расскажите о сложении вращений вокруг параллельных осей.

Тема 1.12. Основные понятия и законы динамики.

1.12.1. Предмет динамики и её две основные задачи.

1.12.2.Основные законы динамики.

1.12.1. Динамикой называется раздел теоретической механики, изучающий зависимость между механическим движением тел и действующими на них силами. Всякое механическое движение тела рассматривается в динамике в связи с физическими факторами, определяю­щими характер этого движения. В этом отличие динамики от кинематики, где движение рассматривается только с геометрической стороны.

Изучение динамики начинается обычно с изучения дви­жения наиболее простого объекта—материальной точки. Материальной точкой назы­вается такое материальное тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи.

В тех же случаях, когда размерами движущегося (не поступательно) тела пренебречь нельзя, мы можем мыслен­но разделить его на отдельные, малые сравнительно с расстояниями, играющими роль в данной задаче, части и принять их за материальные точки. Следовательно, всякое тело и любую комбинацию связанных между собой тел можно рассматривать как совокупность материальных точек. Мысленно выделенная совокупность взаимодействующих между собой материальных точек называется механической системой материальных точек или просто системой. Абсолютно твердое тело можно также рассматриватькак систему материальных точек, расстояния между ко­торыми не изменяются ни при каких условиях, т. е. как неизменяемую систему.

Множество частных задач динамики можно свести к двум основным задачам.

· Первая задача динамики. Известно движение данной материальной точки или данной системы. Требу­ется определить силы, действующие на эту точку или эту систему.

· Вторая задача динамики (обратная первой). Известны силы, действующие на данную материальную точку или данную систему. Требуется определить движе­ние этой точки или этой системы.

Количественные соотношения между различными физическими величинами, связанными с механическим дви­жением материальных тел, устанавливаются в динамике путем математических выводов из основных законов клас­сической механики. Эти законы служат фундаментом, на котором строится все содержание динамики, и потому с них мы и начнем изучение основ динамики.

1.12.1. Первый закон (закон инерции). Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействия со стороны других тел не заставят его изменить это состояние.

Система отсчета, по отношению к которой выполня­ется закон инерции, называется основной или инерциальной системой, а движение, наблюдаемое по отношению к этой системе, называется абсолютным.

Первый закон динамики указывает на одно из важнейших свойств материи – инертность. По этому закону точка, находящаяся в покое, не может сама сдвинуться с места, а точка, совершающая равномерное и прямолинейное движение, - остановиться или изменить направление и модуль скорости. Для изменения вектора скорости точки необходимо воздействие на неё каких – либо сил.

Любая система отсчета, совершаю­щая относительно инерциальной системы поступатель­ное, прямолинейное и равномерное движение, будет также инерциальной системой. Всякая же система отсчета, дви­жущаяся относительно инерциальной непрямолинейно или хотя бы и прямолинейно, но неравномерно, уже не будет инерциальной системой.

Так как Земля движется вокруг Солнца по некоторой криволинейной орбите, вращаясь при этом вокруг своей оси, то, строго говоря, система отсчета, связанная с Зем­лей, не является инерциальной системой. Однако, вслед­ствие малой кривизны земной орбиты и малой угловой скорости вращения Земли вокруг ее оси (один оборот за сутки), в подавляющем большинстве задач динамики, с которыми приходится иметь дело в обычной технической практике, можно с вполне достаточной точностью счи­тать инерциальной систему отсчета, неподвижную относи­тельно Земли. Поправки приходится при этом вводить лишь в тех сравнительно редких случаях, когда вращением Земли пренебрегать нельзя: в задачах артиллерии и ракет дальнего действия, при изучении морских и воздушных течений и некоторых других, очень быстрых или длящихся очень долго, движений.

Второй закон (основной закон динамики). Ускорение, сообщаемое материальной точке приложенной к ней силой, пропорционально модулю этой силы и совпадает с ней по направлению.

Требуется подчеркнуть, что с направлением силы всегда совпадает направление ускорения, а не направление самого движения (направление скорости). Направление движения может и не совпадать с направлением приложенной к точке силы. Так, точка, брошенная в пустоте под углом к гори­зонту, движется при полете по кривой линии (параболе), все время изменяя направление своего движения, тогда как действующая на точку сила тяжести (и сообщаемое ею ускорение) всегда направлена по вертикали вниз.

Из повседневного опыта известно, что одна и та же сила сообщает различным телам (даже если они одинаковы по форме и размерам, но различны по своему веществу) неодинаковые ускорения. Модули ускорений, приобретае­мых различными телами, зависят, таким образом, не толь­ко от модулей действующих на них сил, но и от некото­рого свойства самих тел. Это свойство тел характеризу­ется особой физической величиной, называемой массой.

Масса тела равна отношению его силы тяжести к ускорению (см. п. 1.8.2.) его свободного падения:

. (1.12.1.)

Так как ускорение свободного падения не зависит от размеров тела, то масса материальной точки определяется по силе тяжести той же зависимостью (1.12.1.), что и масса любого тела.

Пусть на свободную материальную точку, сила тяже­сти которой равна G, подействовала сила F, сообщившая ей ускорение а. Согласно рассматриваемому закону моду­ли ускорений, сообщаемых точке приложенными к ней силами, должны быть пропорциональны модулям этих сил. Следовательно,

.

Отсюда имеем

. (1.12.2.)

Из этого равенства следует, что

, (1.12.3.)

т. е. чем больше масса данной точки, тем меньше ускорение точки, сообщаемое ей данной силой. Следовательно, чем больше масса точки, тем медленнее под действием приложенной к ней силы изменяется скорость точки, тем меньше отк­лоняется ее движение от инерциального. Таким образом, различные материальные точки обладают различной инерт­ностью, и мерой инертности материальной точки явля­ется ее масса.

Так как различные точки твердого тела могут совер­шать различные движения и иметь различные ускорения, то масса тела не во всех случаях является мерой его инер­ции. Последняя зависит, вообще говоря, не только от значения масс частиц тела, но и от распределения их в теле. Масса тела полностью характеризует его инерцию только в том случае, когда тело совершает поступатель­ное движение (т. е. когда ускорения всех точек тела одинаковы).

В Международной системе единиц (СИ) за единицу массы принят 1 кг, т. е. масса международного прототипа килограмма, а сила, как известно, выражается в ньюто­нах. Из формулы (1.12.2.) следует, что . Таким образом, ньютон—это сила, сообщаю­щая массе в 1 кг ускорение 1 м/с².

Так как направление силы всегда совпадает с направ­лением ускорения, сообщаемого ею свободной материаль­ной точке, а масса точки есть скалярная положительная величина, то равенству (1.12.3.) можно придать форму векторного уравнения:

. (1.12.4.)

Уравнение (1.12.4.), устанавливающее зависимость между движением материальной точки и действующей на нее силой и являющееся полной математической формулиров­кой основного закона динамики, называется основным уравнением динамики точки.

С изменением системы отсчета наблюдаемый характер движения точки, а следовательно, и ее ускорение могут изменяться, потому второй закон динамики, так же как и ее первый закон, нельзя применять безотносительно к системе отсчета.

Под ускорением точки, входящим в основное уравнение динамики, надо понимать абсолютное ускорение точки, т. е. ее ускорение относительно системы отсчета, прини­маемой за инерциальную.

Третий закон (закон равенства действия и противо­действия). Силы, с которыми действуют друг на друга две материальные точки, всегда равны по модулю и на­правлены по одной прямой (соединяющей данные точки) в противоположные стороны.

Если материальная точка А действует на материаль­ную точку В с силой , то точка В действует на точку А с силой . Пусть масса точки А равна , и ускорение, сообщаемое ей силой , равно , масса же точки В равна и ускорение, сообщаемое ей силой F_A, равно . По основно­му уравнению динамики и . Согласно же данному закону . Отсюда имеем

.

Модули ускорений, сообщаемых друг другу двумя ма­териальными точками, обратно пропорциональны массам этих точек. Направлены же эти ускорения так же, как и силы взаимодействия, т. е. по одной прямой АВ в про­тивоположные стороны.

Четвертый закон (закон независимости действия сил). Ускорение, получаемое материальной точкой при одновре­менном действии на нее нескольких сил, равно геометри­ческой сумме тех ускорений, которые получила бы эта точка под действием каждой из данных сил в отдель­ности.

Пусть на точку, масса которой равна т, одновремен­но действуют силы , сообщая ей при этом ускорение .

Ускорения, которые получила бы эта точка при раз­дельном действии на нее каждой из данных сил, обозна­чим через Согласно данному закону, установленному на основании многочисленных опытов Галилеем, будем иметь

.

Если мы умножим обе части данного равенства на скалярный множитель т (на массу точки), то получим или

,

где - равнодействующая системы сил , приложенных к данной точке.

Следовательно, основ­ное уравнение динамики остается в силе и в том случае, когда на точку одновременно действует несколько сил. Под приложенной к точке силой F нужно понимать в этом случае равнодействующую всех сил, действующих на точку.

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение материальной точки.

2. Сформулируйте законы (аксиомы) динамики.

3. Сформулируйте первую и вторую задачи динамики точки.

4. Какое свойство тела характеризует его масса?

Тема 1.13. Основы кинетостатики.

1.13.1. Принцип Аламбера .

1.13.2. Понятие силы инерции.

1.13.1. Принцип, который обычно связывают с именем выдаю­щегося французского ученого Ж. Аламбера (1717—1783), лежит в основе важного метода динамики, позволяющего задачи динамики формально сводить к задачам статики.

Допустим, что к несвобод­ной материальной точке М массы т приложена некоторая активная сила . Освобождая мысленно точку от связей, заменим их действие на точку силой реакции этих связей. Тогда точку М можно считать свободной, но находящейся под действием силы , являющейся равнодействующей сил и (рис. 1.13.1.). По основному уравнению динамики точки . Условно приложим к точке М еще и вектор .

Вектор , равный произведению массы точки на ее уско­рение и направленный в сторону, противоположную уско­рению точки, называется силой инерции этой точки. Геометрическая сумма сил

и совокупность сил представляет, следовательно, уравновешенную систему.

Симла инерции материальной точки условно прила­гается к самой материальной точке, и потому получаю­щееся при этом равновесие является не действительным, а лишь условным, воображаемым равновесием.

Однако такое условное присоединение силы инерции точки к числу сил, в действительности к ней приложенных, позволяет применить к решению задач динамики хорошо известные приемы статики и лежит в основе метода, назы­ваемого методом кинетостатики.

Идея метода кинетостатики может быть сформулиро­вана для материальной точки следующим образом: во всякий момент движения материальной точки приложен­ные к ней активные силы, силы реакций наложенных на нее связей и сила инерции данной точки (условно прило­женная к ней самой) взаимно уравновешиваются.

Метод кинетостатики вследствие своей простоты и наглядности широко применяется в технической практике для решения задач динамики. Особенно удобен этот метод для опреде­ления так называемых динамических реакций связей, т. е. реакций, возникающих в связях при движении системы. Этим методом можно пользоваться и для определения ускорений тел, входящих в состав системы.

Наряду с этим заметим, что все без исключения задачи динамики можно решать и без применения метода кине­тостатики, не пользуясь вовсе понятием сил инерции.

1.13.2. В природе не бывает одностороннего действия сил. Если материальная точка массы т в результате взаимо­действия с другими, окружающими ее телами, приобрела некоторое ускорение , то к этим телам, согласно третьему основному закону механики, приложены со стороны точки силы противодействия. Геометрическая сумма этих сил, приложенных, вообще говоря, к различным телам, фор­мально равна , т.е. равна силе инерции точки. Толь­ко формально, так как сложение сил приложенных к раз­личным телам физического смысла не имеет.

Реально существуют лишь составляющие этой силы, приложенные к тем телам, которые являются источником активных сил, действующих на движущуюся с ускорением материальную точку, и к связям, наложенным на точку. О силе инерции можно говорить как о реаль­ной силе лишь в том случае, когда на точку действует только одно тело.

Рассмотрим такой пример. Рабочий катит перед собой по рельсам вагонетку, сообщая ей ускорение . Для про­стоты считаем, что вагонетка движется по горизонтально­му прямолинейному пути и никаких сопротивлений своему движению не встречает. Следовательно, источником силы, сообщающей вагонетке ускорение , является только ра­бочий. По основному закону динамики для сообщения вагонетке этого ускорения рабочий должен приложить к ней силу , где т—масса вагонетки. Всякое действие одного тела на другое всегда сопровождается равным и противоположно направленным действием вто­рого тела на первое. Следовательно, рабочий будет встре­чать со стороны вагонетки силу противодействия , равную по модулю силе давления рабочего на вагонетку и направленную в противоположную сторону, т. е. в сторону, противопо­ложную ускорению. Очевид­но, что сила вагонетки при­ложена не к ней самой, а к руке рабочего (рис. 1.13.2.).

Необходимо всегда иметь в виду, что, применяя метод кинетостатики, мы лишь условно прилагаем силу инерции материальной точки к самой точке.

В общем случае движения точки по, криволинейной траектории ускорение точки , как мы знаем, удобно раз­лагать на две составляющие: касательное (тангенсальное) ускорение ( )направленное по касательной к траектории движения, и нормальное ускорение ( , - радиус кривизны траектории в данном положении материальной точки), направленное по нормали к центру кривизны траектории. Положим, что к свободной материальной точке М массы т, движущейся со скоро­стью , приложена сила , направление которой обра­зует с направлением скорости некоторый угол (рис. 1.13.3.). Точка в этом случае будет двигаться по криволинейному пути с ускорением , направленным одинаково с силой .

Очевидно, что при криволинейном движении точки приложенную к ней силу можно разложить на две со­ставляющие: касательную силу , изменяющую мо­дуль скорости точки, и нор­мальную силу , изме­няющую направление скоро­сти точки.

При криволинейном движении точки её силу инерции также можно разложить на две составляющие: касательную силу инерции , напрвленную противоположно касательному ускорению точки, и нормальную силу инерции , направленную противоположно нормальному ускорению точки.

При несвободном криволинейном движении точки, действующей на неё нормальной силой будет реакция связи, заставляющая точку отклоняться от прямолинейного пути и, следовательно, сообщающая ей соответствующее нор­мальное ускорение. Силой же, действующей на связь, будет нормальная сила инерции данной точки.

Положим, что в криволинейном желобе лежит шар (рис. 1.13.4.). Если сообщить ему толчок в направлении оси желоба, то возникнут одновременно две силы: нормаль­ная реакция стенок желоба на шар и нормальная сила инерции —давление шара на стенки жалоба, на­правленная по той же нормали от центра. Если желоб взять резиновым, то действие нор­мальной силы инерции наглядно проявится выпучиванием при дви­жении шара наружной поверхно­сти желоба.

Подвешенное к нити тело (рис. 1.13.5.) натягивает ее при покое с си­лой, равной по модулю силе тяже- сти тела. Будучи же приведено в колебание, тело натягивает нить в момент ее перехода через вертикальное положение с си­лой ( ). При быстром вращении центробежная сила инерции тела, приложенная к нити, осуществляющей связь, заста­вляющую тело совершать криволинейное движение, может настолько увеличить натяжение нити, что произойдет ее разрыв. В момент разрыва нити исчезнет ре­акция связи (сила ), приложенная к телу, так как исчезает связь, делавшая его дви­жение несвободным; в тот же самый мо­мент исчезнет и нормальная сила инерции, и тело будет перемещаться по касательной к окружности в той ее точке, в которой оно на­ходилось в момент разрыва нити.

Аналогичным действием нормальной силы инерции объясняется и происходящий иногда разрыв маховиков при их очень бы­стром вращении. Если вся масса вращаю­щегося тела распределена симметрично относительно его оси вращения, то нормальные силы инерции, развиваемые отдельными его частями, сказываются только в возни­кновении динамических напряжений (внутренних усилий) в материале тела. Эти динамические напряжения при больших скоростях могут достигать весьма больших зна­чений, и с ними безусловно нужно считаться. Но если масса вращающегося тела распределена несимметрично относительно оси вращения, то нормальные силы инерции отдельных частиц тела оказывают также еще и добавоч­ное давление на подшипники, увеличивая трение в под­шипниках и их износ. Вследствие вращения тела равно­действующая неуравновешенных сил инерции все время изменяет свое направление, а это ведет к нежелательной вибрации тела. Вопрос об уравновешивании сил инерции имеет большое значение в современном машиностроении и рассматривается в теории механизмов и машин. При проектировании каждой новой машины необходимо учиты­вать силы инерции, которые могут возникнуть в ней при различных условиях работы.

Вопросы для самопроверки.

1. Что называется силой инерции точки?

2. Сформулируйте принцип Аламбера.