Вычисление ускорения точки в естественных осях

Выведем формулу для вычисления ускорения точки в естественных осях на основе определения (16) и формулы (19). Согласно рис. 6
изменяется по величине и по направлению, изменяется только по направлению:

(20)

Рис. 6

В этом случае вычисление производной осуществим на основе рис. 6.

Изобразим элемент траектории точки dS с единичными векторами в моменты t и t + dt. Здесь – угол смежности. Перенесем вектор параллельно к моменту t. Так как векторы и единичные, то, соединив их концы, получим:

,

где – центр окружности кривизны.

Так как зависит от , то

,

(так как , где – радиус окружности кривизны).

Таким образом,

(21)

и вектор ускорения точки всегда лежит в касательной плоскости и раскладывается на тангенциальное и нормальное направления:

(22)

3.1.6. Определение радиуса кривизны траектории
через декартовы компоненты скорости и ускорения

Рассмотрим, как вычисляется радиус кривизны траектории в том случае, когда движение точки задано в декартовых координатах.

Запишем

, (23)

где