Естественный способ задания движения точки. При естественном способе от точки-полюса вдоль траектории откладывается дуговая координата S

При естественном способе от точки-полюса вдоль траектории откладывается дуговая координата S. Условно выбирается положительное направление движения. Вводится связанный с движущейся точкой локальный декартов репер { } – естественный трехгранник. Здесь

Касательный к траектории единичный вектор , задающий положительное направление движения точки, называется вектором тангенциали. Связанная с ним ось – тангенциальной или же тангенциалью.

Вектор нормали , перпендикулярный , всегда направлен на центр окружности кривизны, касательной к траектории в данной точке.

Вектор бинормали перпендикулярен к векторам и . Соответствующие им оси носят название нормали и бинормали.

Рис. 4

Согласно рис. 4 векторы и задают касательную или соприкасающуюся плоскость (1), в которой лежит окружность кривизны, касательная к траектории в данной точке. Векторы и задают нормальную плоскость (2), а векторы и — спрямляющую плоскость (3). Полученный трехгранник, составленный из касательной, нормальной и спрямляющей плоскостей, называется естественным трехгранником. Следует заметить, что окружности кривизны, касательные к траектории в различных ее точках, – разные. Причем каждая имеет свой радиус кривизны (рис. 5). При этом кривизну (к) как меру определяют по формуле

к = 1/r (13)

Рис. 5

Таким образом, например, кривизна прямой линии будет равна
к = 1/¥ ® 0, а кривизна точки к = 1/0®¥.

Как задается движение точки при естественном способе?

Здесь движение считается заданным, если явно задана зависимость

S = S(t). (14)

При этом предполагается, что векторы зависят неявно от времени. Это означает, что их производные по параметру t в общем случае отличны от нуля. Зависимость (14) задает закон движения точки. Например, так: