Математичний додаток

9.1 Вектори та математичні дії з векторами

Величини, для визначення яких достатньо знати лише їх числове значення, називаються скалярами.

Величини, що характеризуються числовим значенням і напрямком називаються векторами. Числове значення вектора називається його модулем (числовою величиною): – модуль вектора.

Вектори, які напрямлені уздовж паралельних прямих, називаються колінеарними. Колінеарні вектори можуть бути паралельними і антипаралельними.

Вектори, які паралельні до однієї площини, називаються компланарними.

Однакові за модулем колінеарні вектори, напрямлені в один бік , вважаються рівними; рівні за модулем антипаралельні вектори вважаються такими, що мають різні знаки (див. рис. 55).

9.1.1 Елементарні дії з векторами

Вектори можна додавати та віднімати. При цьому пам’ятаємо, що паралельне перенесення вектора не змінює його (ні модуль, ні напрямок).

а). Додавання векторів.

Вектори можна додавати за правилом паралелограма. Сума двох векторів і (рис. 56, а) є діагоналлю паралелограма, сторонами якого є вектори і (рис. 56, б), при цьому початки векторів суміщають.

б). Різниця векторів.

Різницею двох векторів і є вектор , який у сумі з вектором дає вектор :

, (9.1)

в). Радіус-вектор.

Радіус-вектором точки називають вектор, який проведено з початку координат у дану точку. Радіус-вектор однозначно визначає положення точки у просторі.

г). Розкладання радіус-вектора на складові (рис. 58).

Кожен вектор можна розкласти на складові, сума яких дає вектор . На рисунку орти, вектори, довжина яких дорівнює 1= , а напрямки співпадають відповідно з осями .

(9.2)

д). Проекція вектора на вісь (рис. 59).

Розглянемо вектор , що лежить у площині . Проекція вектора на вісь – відрізок між проекціями точок, що відповідають координатам початку і кінця вектора на вісь .

(9.3)

Подібно:

е). Множення вектора на скаляр.

У результаті множення вектора на скаляр одержується вектор , модуль якого у разів більший за модуль , а напрям визначається знаком :

, тому при та при .

Ділення вектора на скаляр рівнозначне множенню цього вектора на .

9.1.2 Скалярний добуток двох векторів

Скалярним добутком двох векторів і називається скаляр, чисельно рівний добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними (рис. 60).

(9.4)

, (9.5)

9.1.3 Векторний добуток двох векторів.

Векторним добутком двох векторів і називається вектор (див. рис. 61), який має наступні властивості:

а) модуль вектора дорівнює добутку модулів векторів і на синус кута між ними;

б) вектор перпендикулярний до площини, у якій лежать вектори і , причому його напрямок визначається правилом правого гвинта: якщо дивитися у напрямку , то поворот, здійснений від першого множника до другого , повинен здійснюватись по найкоротшому шляху за ходом годинникової стрілки.

(9.6)

(9.7)

Простою геометричною інтерпретацією векторного добутку є наступне (див. рис. 62): векторний добуток двох векторів чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і :

(9.8)

Вираз для векторного запису векторного добутку двох векторів у проекціях на осі має наступний вигляд:

(9.9)

Вираз (9.9) отримується шляхом розрахунку наступного визначника:

9.1.4 Подвійний векторний добуток трьох векторів

Він дається виразом:

. (9.10)

Геометрично вектор перпендикулярний до площини, в якій лежать вектори та .

9.2 Поняття функції багатьох змінних. Частинні похідні. Повний диференціал. Градієнт скалярної функції багатьох змінних

В багатьох задачах фізики маємо справу із змінними величинами, значення яких повністю визначаються певним набором інших змінних величин. Наприклад, швидкість матеріальної точки при її русі під дією сили залежить від координат і часу: , а при розгляді нестаціонарного руху рідини швидкість частинок рідини також була функцією координати і часу . Подібні функціональні залежності, в яких деяка змінна величина є функцією певної кількості незалежних змінних величин, називають функціями багатьох змінних.

Розглянемо функцію , визначену в деякому околі точки . Зафіксуємо змінні та . В результаті отримаємо функцію , залежну від однієї змінної. Якщо ця функція має похідну за змінною , то цю похідну назвемо частинною похідною функції :

.

Величину називають частинним приростом функції за зміною у точці . Подібно можна знайти та . Отриманий результат справедливий не лише для точки ), але і для довільної точки . Пам’ятаємо лише, що частинну похідну беруть згідно з правилами диференціювання функції однієї змінної.

Приріст функції , обумовлений змінами та на та може бути записаний у вигляді

(9.11)

Вираз (9.11) є повним диференціалом функції . Відзначимо, що повний диференціал може мати лише диференційована функція в точці . Вираз (9.11) дає лінійні стосовно та прирости функції .

Якщо сукупність змінних вважати складовими деякого вектора , то у тривимірному просторі повний диференціал можна виразити як скалярний добуток вектора на вектор :

(9.12)

Таким чином

= ,

або: (9.13)

Тут диференціальний оператор Набла:

= . (9.14)

Вираз (9. 13) показує операцію знаходження градієнта функції .Напрямок вектора дає напрямок найшвидшої зміни функції .

9.3 Комплексні числа та їх використання при розгляді коливних і хвильових процесів

Положення точки на площині задаємо комплексним числом

(9.15)

– модуль комплексного числа,

Якщо використати формулу Ейлера

, (9. 16)

то

Нехай – радіус-вектор матеріальної точки, що обертається по колу з кутовою швидкістю , тоді

,

де початкова фаза руху.

Якщо взяти дійсну частину виразу, отримаємо рівняння гармонійних коливань по осі :

(9. 17)

Для опису коливань по осі шукаємо уявну частину виразу

(9. 18)

Вирази типу (9.17) зручно використовувати для опису коливних та хвильових процесів. Зокрема, вираз:

(9. 19)

є рівнянням гармонійного коливання, а вираз

(9.20)

є рівнянням плоскої хвилі.

Використання комплексних чисел для опису коливних та хвильових процесів дозволяє у ряді задач спростити і скоротити розрахунки. Покажемо це на прикладі вимушених коливань.

Виходимо із рівняння руху (7.50) для вимушених коливань, в якому вираз для вимушуючої сили замінимо виразом :

(9. 21)

Розв’язок рівняння для встановлених коливань шукаємо у вигляді

, (9.22)

де – деяка стаціонарна незалежна від часу амплітуда у вигляді комплексного числа. Підстановка виразу (9.22) у рівняння (9.21) дає наступний результат:

.

Скоротивши вираз на для отримаємо:

(9. 23)

Перетворимо знаменник у виразі (9.23), використавши формулу Ейлера, до вигляду:

,

де .

Тому .

Кінцево розв’язок рівняння (9. 21) набуває вигляду:

(9.24 )

З (9.24) видно, що вимушене коливання за фазою відстає від вимушуючої сили на кут . Отриманий результат ідентичний виразу (7.53).

[1] Доведемо, що .

Згідно з третім законом Ньютона , а тому для доведення записаної вище рівності достатньо показати, що . Запишемо , де –вектор, що з’єднує точки та , тоді:

, бо , внаслідок колінеарності векторів та .

[2] Дане твердження випливає з того, що кут малий ( ), а тому і трикутник рівнобедрений з рівними сторонами .

[3] Відзначимо, що середні значення функції та за період рівні 1/2: .

[4]

[5] Адіабатичний процес – процес, що відбувається без обміну теплом із зовнішнім середовищем. Ідеальних адіабатичних процесів в природі немає. Адіабатичними процесами можуть вважатись лише швидкозмінні процеси (в даному випадку пружні деформації в хвилі).