Механіка рідин

Відміна властивостей рідин і газів від властивостей твердих тіл полягає у відсутності у них пружності форми і відсутності опору деформації зсуву. Їм властива лише пружність об’єму. Тому в рідині або газі існує лише пружна деформація стиску. В результаті цього у стані рівноваги в них існують напруження, перпендикулярні до поверхні, на яку вони діють. Закони механіки, що описують властивості рідин і газів, подібні між собою, а тому будемо говорити про рідину, пам’ятаючи, що отримані висновки справедливі і для газів. Рухливість частинок рідин і газів відносно велика, а під час руху елементи їхніх мас змінюють своє взаємне розташування.

Механіка рідин складається з двох основних розділів:

1. Гідростатика –вивчає умови рівноваги рідин під впливом прикладених сил і дію рідин на занурені у них тверді тіла та стінки посудини.

2. Гідродинаміка – вивчає рух рідин та механічну взаємодію між рідиною і твердим тілом при їх взаємному русі.

6.1 Закони гідростатики

З точки зору механіки рідини є середовищами, у яких при рівновазі дотичні напруження існувати не можуть. Тому в стані рівноваги тиск на площадку довільної орієнтації завжди нормальний до її поверхні (тобто ^ ). З цього випливає закон Паскаля, який стверджує, що у стані спокою тиск у даній точці рідини однаковий в усіх напрямках. Дія різних гідравлічних пристроїв базується на висновках з цього закону.

Закон Паскаля строго справедливий, якщо на рідину не діють зовнішні сили. У полі зовнішніх сил на всі частинки рідини діють сили у напрямку дії сил поля. Зокрема, якщо трубу (рис. 19) довжиною і перерізом заповнити рідиною і встановити систему вертикально, то на усі частинки рідини діятиме сила тяжіння, величина якої залежить від маси рідини: . На верхній шар рідини товщиною діє лише сила атмосферного тиску: . Шар тисне на нижні шари рідини з силою , де – густина рідини, що аналогічне виникненню додаткової сили тиску:

.

Нижні шари рідини зазнають додаткового тиску стовпа рідини:

(6.1)

Таким чином, гідростатичний тиск однорідного стовпа рідини висотою дорівнює: . В тих випадках, коли густина рідини є функцією (у першу чергу це стосується газів), в інтегралі у виразі (6.1) замість постійного присутня функція .

Іншим важливим законом гідростатики є закон Архімеда: на занурене в рідину (газ)тіло діє виштовхувальна сила, яка чисельно дорівнює вазі витісненої тілом рідини (газу).

Закон Архімеда має важливе значення для вирішення проблем повітроплавання (аеростати, дирижаблі і т. ін.) та проблем, пов’язаних із плаванням, стійкістю та рівновагою надводних та підводних суден.

6.2 Основні поняття гідродинаміки. Стаціонарний рух рідини. Рівняння Бернуллі

Рух рідини (газу) можна вивчати двома методами. Перший метод, запропонований Лагранжем, базується на розгляді рівнянь руху усіх частинок рідини і зводиться до визначення траєкторії, швидкості і прискорення частинки в будь-який момент часу. Використання методу Лагранжа пов’язане із значними математичними труднощами.

На практиці частіше використовують метод Ейлера. У даному розгляді говорять не про швидкість і прискорення окремих частинок рідини, а про швидкість і прискорення потоку рідини у кожній точці простору. Швидкість потоку рідини у даній точці простору залежить від координати точки і часу:

Розглядаємо рух ідеальної рідини, абсолютно нестисливої і повністю позбавленої сил внутрішнього тертя. Для опису властивостей ідеальної рідини користуємося підходом Ейлера. Введемо такі поняття.

1. Поле вектора швидкості для всіх точок простору, в яких присутня рідина.

2. Проведемо в рідині лінії таким чином, щоб дотичні до них у кожній точці співпадали з напрямком у цій точці (рис. 20). Ці лінії назвемо лініями течії. Густота розміщення ліній течії на рисунку пропорційна величині .

3. Трубка течії – частина рідини, що обмежена сукупністю ліній течії. Частинки рідини не можуть перетнути стінок трубки течії, бо завжди дотичне до ліній течії.

4. Стаціонарне течіння рідини відповідає стану течіння рідини, при якому поле вектора швидкості не залежить від часу: .

Важливою характеристикою течіння нестисливої рідини є теорема нерозривності течії. Розглянемо трубку течії (рис.21) у стаціонарному потоці рідини настільки тонку, щоб швидкості рідини можна було вважати сталими у всіх точках будь-якого нормального поперечного перерізу. Обмежимо ділянку трубки течії двома нормальними перерізами ^ і ^

За час через перерізи перейдуть частинки, що були на відстанях не більших за для перерізу та за для перерізу . Для нестисливої рідини кількість частинок, що входять в об’єм, обмежений перерізами і за певний час , дорівнює кількості частинок, що виходять з об’єму за цей час. Тому:

, або (6.2)

Вираз (6.2) є математичним записом теореми про нерозривність струменя: маса рідини, що проходить за одиницю часу через кожний поперечний переріз трубки течії, для усіх перерізів однакова.

Опис руху ідеальної рідини у полі сил тяжіння може бути здійснений з допомогою рівняння Бернуллі. Виберемо трубку течії, що перебуває у полі сил тяжіння з певним перепадом висот. Розглянемо переміщення порції рідини, що знаходиться між перерізами і (рис.22).

За проміжок часу дана порція рідини зміститься у положення між перерізами і . За теоремою про нерозривність струменя об’єми рідини, що знаходяться між перерізами і та і , рівні між собою:

Зміну енергії всієї системи шукаємо як різницю енергій рідини, що перебуває в об’ємах та . Нехай густина рідини дорівнює . Вважаємо, що переміщення рідини малі, а тому на проміжках і швидкості і , а також зовнішні тиски і можуть вважатися постійними.

Зміна енергії порції рідини чисельно дорівнює роботі сил тиску та . Ця робота дорівнює:

Зміна енергії порції рідини складається із зміни кінетичної та зміни потенціальної енергії:

.

Прирівняємо та і отримаємо:

,

або в загальному вигляді для довільної висоти :

(6.3)

Вираз (6.3) називають рівнянням Бернуллі. У цьому виразі – динамічний тиск, що чисельно дорівнює кінетичній енергії одиниці об’єму рідини, – гідравлічний тиск (тиск стовпа однорідної рідини висотою під дією сили тяжіння), – статичний тиск, обумовлений дією зовнішніх сил.

Для горизонтальної течії рідини рівняння Бернуллі набуває вигляду:

(6.4)

Трубка Піто (рис.24а) є зігнутою манометричною трубкою з відкритим кінцем, що повернутий назустріч течії рідини. З допомогою трубки Піто вимірюють повний тиск рідини у горизонтальній трубі: . Статичний тиск вимірюють з допомогою зонда (рис. 24б). Зонд являє собою зігнуту трубку, запаяну в частині, повернутій назустріч потоку, і з малим отвором у бічній стінці.

Для вимірювання динамічного тиску (а таким чином – швидкості рідини) використовують манометричну трубку Прандтля (рис. 24в), що є комбінацією трубки Піто і зонда. З різниці рівнів стовпів рідини у цих трубках знаходимо і кінцево розраховуємо швидкість рідини:

(6.5)

Цікавою для практики є задача про витікання рідини через малий отвір у бічній стінці широкої посудини (рис. 25).

Нехай висота стовпа рідини до центра отвору . На вільну поверхню рідини і на струмінь, що витікає діє зовнішній статичний тиск рівний атмосферному. Запишемо рівняння Бернуллі:

.

Оскільки поперечний переріз трубки набагато більший за площу отвору , , а тому вважаємо . Тому

(6.6)

Вираз (6.6) називають формулою Торрічеллі. Об’єм рідини, що витікає через отвір за одиницю часу: . За час через отвір витікає рідина масою . Ця рідина має швидкість , а тому її імпульс . Згідно з третім законом Ньютона посуд з рідиною отримує від рідини, що витікає імпульс - , а тому на посуд діє сила реакції рідини:

(6.7)

або

(6.7а)

Реакція потоку рідини на стінки зігнутої труби. Нехай у зігнутий під деяким кутом трубі постійного перерізу встановився стаціонарний потік рідини (див. рис. 26). За теоремою про нерозривність струменя швидкість протікання рідини буде однакова за величиною в кожному перерізі.

Розглянемо об’єм труби обмежений перерізами і . Через переріз за одиницю часу в об’єм вливається кількість рідини яка вносить в об’єм імпульс . За одиницю часу з об’єму витікає кількість рідини , що виносить з об’єму імпульс . Таким чином, стінки трубки надають рідині за одиницю часу приріст імпульсу .

Згідно з другим законом Ньютона приріст імпульсу тіла за одиницю часу чисельно рівний силі, що діє на тіло. Таким чином зігнута трубка діє на струмінь рідини з силою .

Згідно з третім законом Ньютона рідина діє на стінки трубки з силою, яка за величиною дорівнює , але протилежна їй за напрямком. Тому сила реакції струменя на стінки труби рівна:

(6.8)

6.3 Рух в’язкої рідини. Ламінарна і турбулентна течія. Формула Пуазейля

У реальній рідині при русі одних шарів відносно інших існують сили в’язкого тертя. Експериментально встановлено, що сили внутрішнього тертя між двома шарами рідини, що рухаються з різними швидкостями і , можна описати з допомогою формули:

, (6.9)

У виразі (6.9) – площа шарів, що взаємодіють, – відстань між шарами, – динамічна в’язкість рідини (коефіцієнт пропорційності, залежний від сорту рідини, її стану, зокрема температури). Більш точно дана залежність описується формулою Ньютона:

, (6.10)

тут – градієнт швидкості (фактично модуль градієнта швидкості), що має сенс зміни величини на одиницю відстані у напрямку, перпендикулярному до . В’язкість рідини чисельно дорівнює силі тертя між двома шарами площею =1 при одиничному градієнті швидкості =1. Розмірність в’язкості .

У багатьох задачах використовують величину – коефіцієнт кінематичної в’язкості ( – густина рідини).

При розгляді руху рідини розрізняють два крайні типи течії рідини – ламінарну та турбулентну течії.

При ламінарній течії окремі шари рідини не змішуються між собою, ковзаючи один відносно одного. Ламінарна течія є стаціонарною.

Із збільшенням швидкості течії рідини ламінарна течія стає нестійкою і переходить у турбулентну. При турбулентному потоці частинки рідини рухаються по складних траєкторіях, при цьому утворюються вихори із замкненими траєкторіями, рідина інтенсивно перемішується.

Умови переходу від ламінарної до турбулентної течії характеризуються числом Рейнольдса:

, (6.11)

у якому – характерний розмір тіла, що взаємодіє з рідиною. Для передбачення характеру руху рідини в конкретних задачах використовують розрахунок числа Рейнольдса. При малих величинах спостерігається ламінарна течія рідини. Починаючи з якогось критичного значення числа Рейнольдса течія рідини набуває турбулентного характеру.

Зокрема, для гладкої циліндричної труби круглого перерізу діаметром критичне число Рейнольдса дорівнює :

=2300,

де – середня швидкість течії рідини. Для води в трубі діаметром 0,02 м при середня швидкість, при якій число Рейнольдса досягає критичного значення, дорівнює 0,2 м/с.

При стаціонарному русі рідини сумарна сила тиску зрівноважується силою тертя , де – площа бічної поверхні вибраного циліндра, – площа основи циліндра, – перепад тиску між основами циліндра, – градієнт швидкості. Запишемо цю умову у вигляді рівняння і знайдемо з нього :

(6.12)

Оскільки швидкість рідини на стінках дорівнює нулю, при , то

Кінцево:

(6.13)

Якщо вважати, що швидкість рідини на осі труби , то вираз (6.13) можна записати:

(6.14)

З виразу (6.14) видно, що залежність параболічна (рис. 28).

Вираз (6.13) можна використати для розрахунку об’єму рідини, що протікає через поперечний переріз труби за одиницю часу. Для цього поперечний переріз труби розіб’ємо на концентричні кільця радіуса товщиною (рис. 29) Площа кільця дорівнює . За одиницю часу через поперечний переріз кільця протікає об’єм рідини , який дорівнює:

(6.15)

Знаходимо суму об’ємів рідини, яка пройшла за одиницю часу через усі кільця:

(6.16)

Вираз (6.16) називають формулою Пуазейля. З допомогою цього виразу знаходимо кількість (об’єм) рідини, що протікає через поперечний переріз круглої труби радіуса за одиницю часу. З виразу видно, що , а тому збільшення радіуса труби у два рази дозволяє збільшити об’єм рідини у 16 разів. Вираз (6.16) справедливий лише для ламінарної течії рідини.

6.4 Рух твердих тіл у рідинах

Будь-яке тіло при русі у нерухомій рідині зазнає дії сил опору середовища. Визначення цих сил шляхом розрахунку являє собою складну математичну задачу. Тому звичайно розв’язують еквівалентну задачу про обтікання твердого тіла потоком рідини.

Силу, що діє на тіло з боку рідини, можна розкласти на дві складові: у напрямку потоку і перпендикулярну до потоку . Силу називають силою лобового опору, а силу – підіймальною силою. Сила лобового опору складається з двох різних сил: сили, обумовленої різницею тисків на передню і задню поверхні тіла та сили в’язкого тертя. При великих швидкостях (великих числах Рейнольдса) переважаючу роль відіграють сили, обумовлені різницею тисків, при малих – сили в’язкості.

При обтіканні твердого тіла стаціонарним потоком ідеальної нев’язкої нестисливої рідини чи при рівномірному русі тіла в такій рідині лобовий опір дорівнює нулю. Ідеальна нев’язка рідина повинна вільно ковзати по поверхні тіла, повністю обтікаючи його. На рис.30 показано лінії течіння при обтіканні ідеальною рідиною довгого циліндра. Внаслідок повного обтікання тіла картина ліній течіння є повністю симетрична відносно прямої, що проходить по діаметру, паралельному вектору рідини далеко від циліндра. Тиск поблизу точок А і В буде вищим, ніж у незбуреному потоці рідини і рівним у обидвох точках. (Збільшення тиску в точках А і В обумовлене зменшенням швидкості потоку в цих точках у порівнянні із швидкістю незбуреної рідини).

Симетрична картина взаємодії ідеальної рідини з тілом спостерігається і для точок С та Д, розміщених на діаметрі СД, перпендикулярному до АВ.

У випадку взаємного руху тіла і в’язкої рідини дуже тонкий шар рідини примикає до поверхні тіла і рухається з ним як єдине ціле, захоплюючи з собою внаслідок тертя подальші шари рідини. У результаті тіло оточене шаром рідини, в якому існує градієнт швидкості. Цей шар називають суміжним, у ньому діють сили внутрішнього тертя, які спричинюють виникнення сил опору. Із збільшенням швидкості рідини змінюється характер обтікання циліндра рідиною (рис. 31).

а) дотичні сили в’язкості (опір внутрішнього тертя), які відіграють основну роль при малих швидкостях. Величина цих сил пропорційна першій степені швидкості:

. (6.17)

б) опір тиску зростає приблизно пропорційно до і відіграє переважаючу роль при великих швидкостях:

, (6.18)

де – коефіцієнт пропорційності, залежний від числа Рейнольдса, форми тіла та його орієнтації у потоці рідини, – площа поперечного перерізу тіла.

При даних поперечних розмірах тіла опір тиску сильно залежить від форми тіла. Співвідношення між силами опору тертя і силами опору тиску визначаються числом Рейнольдса.

Як уже згадувалося, у випадку, коли тіло несиметричне, обтікання тіла ідеальною рідиною веде до появи сили , перпендикулярної до вектора швидкості , яку називають підіймальною силою. Для виникнення підіймальної сили в’язкість рідини не має суттєвого значення. На прикладі обтікання ідеальною рідиною напівциліндра (Рис. 32) показано, що підіймальна сила може бути напрямлена як вгору, так і вниз. Виникнення підіймальної сили обумовлене різними швидкостями рідини, а відповідно і різними величинами тиску . Підіймальна сила може бути розрахована з допомогою виразу :

, (6.19)

тут – коефіцієнт пропорційності, залежний від числа Рейнольдса, форми тіла і його орієнтації у потоці рідини, – площа поперечного перерізу тіла.

Завдяки підіймальній силі можливий рух корабля на підводних крилах, політ літака у повітрі і ін. Крило літака має обтічну форму профілю, подібному (рис. 32а). Орієнтація крила літака відносно потоку повітря здійснюється таким чином, щоб вибрати оптимальне його положення, при якому забезпечується достатня підіймальна сила з обмеженою величиною лобового опору.

Одним з явищ, яке спостерігається при взаємному русі тіла і рідини, є ефект Магнуса, що проявляється при обертовому русі тіла у потоці рідини . Причину виникнення даного ефекту можна вияснити на основі такого експерименту. Нехай зображений на рис. 33 циліндр обертається у напрямку руху годинникової стрілки. У цьому випадку в точці А поблизу циліндра його обертання сприяє прискоренню руху рідини у напрямку течії, а у точці В обертання циліндра сповільнює рух рідини. У результаті на циліндр діє підіймальна сила, зумовлена різницею тисків рідини між точками А і В.

Прояв впливу ефекту Магнуса на рух тіла можна продемонструвати при розгляді руху легкого порожнистого циліндра, що скочується по похилій площині (рис. 34).

Ефектом Магнуса пояснюються непрямолінійні траєкторії руху тенісного чи футбольного м’яча після здійснення „різаних” ударів. Впливом ефекту Магнуса пояснюється і невелика точність стрільби кулястими снарядами (дріб, ядра) гармат та мисливських рушниць, у яких відсутня нарізка у стволі.