Пружні хвилі

Хвилею називають процес поширення коливань в просторі.

Пружна хвиля – процес поширення механічних коливань у пружному середовищі. На відміну від електромагнітних хвиль, які можуть поширюватися як в речовині так і у вакуумі, для поширення механічних коливань необхідне середовище, яке чинить опір розтягу (стиску) чи зсуву. Розглянемо основні характеристики хвильових процесів, що описують поширення гармонійних коливань у просторі.

8.1 Характеристики хвиль

Основними характеристиками, що визначають властивості хвиль довільної природи є частота коливань і швидкість поширення хвилі v. В природі існують хвилі поздовжні та поперечні. В поздовжній хвилі коливання фізичної величини (в механіці – коливання частинок речовини) відбувається в тому ж напрямку, в якому поширюються хвилі. В поперечній хвилі коливання відбуваються в напрямку, перпендикулярному до напрямку поширення хвилі.

В механіці поздовжні хвилі існують в усіх середовищах, в яких виникають пружні сили під час деформацій розтягу і стиску. Таким чином, поздовжні хвилі можуть поширюватись в газах, рідинах і твердих тілах.

Поперечні пружні механічні хвилі можуть існувати лише в твердих тілах, де наявні пружні сили при деформаціях зсуву. Однак хвилі за своїм характером близькі до поперечних хвиль у пружних твердих тілах, можуть виникати на поверхні рідини або на межі двох рідин. Виникнення цих хвиль обумовлене не пружними силами в рідині, а дією сили тяжіння. Якщо в деякій точці поверхня рідини буде порушена (наприклад, на поверхню впало точкове тіло), то на поверхні рідини поширюються імпульси, викликані ударом. При цьому частинки рідини рухаються не лише вертикально, але й горизонтально. Хвиля, строго кажучи, не буде поперечною. Однак, якщо не враховувати рух окремих частинок рідини і лише спостерігати за рухом поверхні рідини, то ми отримаємо картину поширення поперечного імпульсу. Як згадувалось, при поширенні цього імпульсу сила тяжіння і сили поверхневого натягу відіграють роль, аналогічну до дії пружних сил при поширенні поперечних коливань в твердому тілі.

При поширенні хвилі в пружному середовищі має місце передавання імпульсу (енергії) від частинок, що коливаються до сусідніх частинок, які також почнуть коливатись, хоч і з деяким запізненням. Геометричне місце точок, до яких коливання дійшли до даного моменту часу називають фронтом хвилі. Очевидно, що у всіх точках фронту хвилі коливання проходять в однакових фазах. При поширенні хвиль з точкового джерела в однорідному ізотропному середовищі фронтом хвилі є сфера.

Швидкість руху фронту хвилі в напрямку поширення хвилі називають фазовою швидкістю v (тобто швидкістю поширення постійної фази коливань). За один період коливань Т фронт хвилі поширюється на відстань . називають довжиною хвилі.

Оскільки коливні процеси відзначаються періодичністю, то при неперервній дії джерела коливань процес поширення коливань буде тривалим і в певній ділянці простору будуть спостерігатися коливні процеси, початкова фаза яких буде залежати від координати точки спостереження. На поверхнях, які в початкові моменти відповідали певним положенням фронту хвилі коливання в усіх точках будуть відбуватись в однакових фазах. Ці поверхні називають хвильовими поверхнями.

Отже, хвильова поверхня – геометричне місце точок, у яких коливання відбуваються в однакових фазах. Очевидно, що фронт хвилі є також хвильовою поверхнею. Наслідком із сказаного є наступне: довжина хвилі – найкоротша відстань між двома сусідніми хвильовими поверхнями, в яких коливання проходять в однакових фазах.

Взагалі кажучи, хвильова поверхня може мати різну форму. Зокрема, при поширенні хвиль в неоднорідному середовищі форма хвильової поверхні може змінюватись. Для простоти розгляду будемо аналізувати хвилі, в яких форма хвильової поверхні найпростіша. Плоска хвиля – хвильова поверхня є площиною, перпендикулярною до .

Сферична хвиля – хвильова поверхня сфера, а сукупність можливих хвильових поверхонь є системою концентричних сфер.

8.2 Рівняння хвилі

Знайдемо рівняння, яке б повністю описувало коливний рух в межах хвилі, подібно як рівняння описує гармонійне коливання матеріальної точки.

Шукаємо рівняння функції , яка має наступні властивості. При фіксації координати точки спостереження дана функція повинна перетворитися в рівняння коливань в даній точці:

,

Де – початкова фаза коливань, залежна від координати.

З іншого боку, якщо в зафіксувати час , то дана функція повинна дати миттєву картину коливного процесу в усій ділянці простору, в якій існує хвиля.

Очевидно, що і по координаті повинна бути періодичною функцією, оскільки однакова фаза коливань хвилі повторюється через відстані рівні довжині хвилі .

Знайдемо рівняння плоскої хвилі, тобто хвилі, в якій фронт хвилі і всі хвильові поверхні є площинами, перпендикулярними до вектора швидкості .

Джерелом плоскої хвилі може бути плоске протяжне джерело. Нехай джерело плоскої хвилі лежить в площині і періодично зміщує частинки середовища в цій площині з круговою частотою . Це означає, що в площині збуджуються гармонійні коливання

(8.1)

Внаслідок пружного зв’язку між частинками середовища в середовищі в напрямку ox будуть поширюватись коливання з швидкістю . До площини з координатою коливання надійдуть із запізненням .

(8.2)

Рівняння (8.2) називають рівнянням плоскої хвилі, що поширюється в напрямку осі x.

Оскільки , рівняння (8.2) можна перетворити до вигляду :

(8.3)

де – хвильове число.

Для плоскої хвилі, що поширюється з початку координат з плоского джерела, довільно орієнтованого в просторі рівняння хвилі може бути записане:

(8.4)

В даному виразі – координата точки спостереження коливань, – хвильовий вектор, – одиничний вектор нормалі до поверхні джерела коливань. Вираз (8.4) можна записати в такій формі:

(8.5)

Для рівняння сферичної хвилі, що поширюється з точкового джерела з координатою , отримують:

(8.6)

де А – величина, чисельно рівна амплітуді коливань на відстані від джерела коливань.

8.3 Хвильове рівняння

Рівняння коливань є розв’язком рівняння руху, зведеного до вигляду:

(7.7)

Знайдемо диференціальне рівняння, розв’язком якого є рівняння хвилі. Для цього знайдемо другі часткові похідні по змінних від виразу (8.5):

(8.7)

(8.8)

(8.9)

(8.10)

Після додавання рівнянь (8.8), (8.9) і (8.10) отримаємо:

(8.11)

Якщо з виразу (8.7) знайти f і підставити у (8.11) маємо:

, (8.12)

оскільки .

Рівняння (8.12) називають хвильовим рівнянням. Розв’язком цього рівняння є рівняння хвилі.

8.4 Швидкість поширення пружних хвиль в середовищі

Швидкість поширення хвиль зумовлена швидкістю передавання коливального руху від частинки до частинки середовища. Запишемо швидкість поширення поздовжньої пружної хвилі в довільному пружному суцільному середовищі. В загальному випадку незалежно від агрегатного стану пружного середовища (тверде тіло, рідина чи газ) для швидкості поширення поздовжньої хвилі можна отримати:

(8.13)

де – густина недеформованого середовища, – коефіцієнт пружності.

Для поширення поздовжньої хвилі в твердому тілі коефіцієнт пружності виразимо через модуль Юнга: і для v отримаємо:

(8.14)

В рідинах і газах швидкість поширення поздовжніх хвиль визначається з допомогою виразу:

(8.15)

де k – модуль об’ємного стиску, – адіабатичний[5] коефіцієнт об’ємного стиску. (Для води зменшується з підвищенням температури, а відповідно v збільшується).

Швидкість поширення хвиль в газах визначається з допомогою формули:

(8.16)

де R – універсальна газова стала, – відношення молярних теплоємностей газу відповідно при сталому тиску С_р і сталому об’ємі С_v. ( , де і – число ступенів вільностімолекули газу); μ – маса моля газу. З (8.16) видно, що і обернене до .

Наприклад, швидкості поширення звуку (повздовжньої хвилі) у водні та кисні відносяться між собою як:

,

При поширенні поперечної хвилі у твердому тілі швидкість її поширення може бути розрахована з допомогою виразу подібного до (8.14):

, (8.17)

де - модуль зсуву.

Оскільки величина G менша за модуль Юнга, то очевидно, що .

8.5 Енергія пружних хвиль

Знайдемо енергію, яку несе хвиля в пружному середовищі. Розглянемо плоску хвилю, що поширюється в напрямку x:

Виділимо в середовищі об’єм настільки малий, щоб в цьому об’ємі всі частинки речовини коливались в однаковій фазі, маючи при цьому однакову швидкість. Кінетична енергія хвильового руху в даному об’ємі:

, (8.18)

де - густина середовища.

Швидкість частинок

Таким чином, кінетичну енергію DW_K обчислимо:

(8.19)

Середнє значення кінетичної енергії .

По аналогії з міркуваннями про середні кінетичну та потенціальну енергії гармонійного коливання (§7.2) можна показати, що

.

Повна середня механічна енергія

Середня механічна енергія, що припадає на одиницю об’єму (густина енергії) середовища, в якому поширюється хвиля

(8.20)

В напрямку свого поширення хвиля несе з собою деяку енергію. Густина потоку енергії, що несе хвиля:

(8.21)

Густина потоку - це кількість енергії, яку переносить хвиля за одиницю часу через одиничний плоский переріз ( ), перпендикулярний до напрямку поширення хвилі.

Через довільну поверхню S хвиля за одиницю часу несе енергію

(8.22)

(інтеграл взято по цілій поверхні S).

8.6 Інтерференція хвиль. Стояча хвиля

Якщо в середовищі поширюються одночасно декілька хвиль, то коливання частинок середовища є геометричною сумою коливань, які б здійснювали ці частинки під дією кожної з хвиль зокрема. Коливання під дією хвиль додаються одне з одним, не збурюючи самих хвиль. Додавання даного типу називаються суперпозицією хвиль.

Найбільш цікавим є додавання коливань, збурених хвилями з однаковою циклічною частотою ( ) і постійною різницею фаз між коливаннями в кожній точці, де спостерігається додавання коливань. Такі хвилі називають когерентними, а додавання коливань, збурених когерентними хвилями, інтерференцією хвиль.

Окремим випадком інтерференції є накладання двох зустрічних когерентних хвиль з однаковими амплітудами. При цьому в середовищі виникає коливний процес, що називається стоячою хвилею. Стоячу хвилю можна отримати при додаванні хвиль, одна з яких поширюється в певному напрямку (наприклад, Х), а інша виникла при відбиванні першої хвилі від деякої перешкоди.

Запишемо рівняння двох зустрічних когерентних хвиль і знайдемо їх суму:

і

(8.23)

Рівняння (8.23) є рівнянням стоячої хвилі. З даного виразу видно, що сумарне коливання здійснюється з циклічною частотою , а амплітуда коливань залежить від координати. Для зручності обговорення виразу виберемо початок відліку координати Х таким чином, щоб , а початок відліку часу t таким, щоб (реально це ). При цьому вираз (8.23) запишеться у вигляді:

(8.24)

В точках х для яких амплітуда коливань набуває максимального значення і дорівнює 2а (бо ). Такі точки називають пучностями:

(8.25)

оскільки . Відзначимо, що пучність є не окремою точкою, а площиною, рівняння якої . В площинах, координати яких

, ( ), (8.25)

амплітуда коливань дорівнює нулю. Дані точки називають вузлами:

(8.26)

З наведених виразів видно, що відстань між сусідніми вузлами рівна , відстані між сусідніми пучностями також , а відстань між сусідніми вузлом і пучністю дорівнює .

З виразу, що описує залежність амплітуди коливань в стоячій хвилі від координати :

можна зробити висновок, що коливання в точках по різні боки від площини вузла відбуваються в протифазі. В ділянці від одного вузла до наступного коливання відбуваються в однаковій фазі.

Характерною особливістю стоячої хвилі є те, що в даній хвилі немає передавання енергії від одних точок середовища до інших, як це відбувається у біжучій хвилі. Окрім того у вузлах коливання відсутні.

Для виникнення стоячої хвилі в обмеженому середовищі необхідне узгодження частоти коливань джерела хвилі з відповідним характерним розміром середовища (наприклад, з довжиною об’єкта l вздовж якого поширюються пряма і відбита хвилі). Покажемо це на прикладі поперечних коливань стрижня, закріпленого в одній точці, та коливань струни, закріпленої в обох кінцях.

Між довжиною стрижня l і довжиною стоячої хвилі l виконується співвідношення:

, (8.27)

(в довжину стрижня повинна вкладатись непарна кількість ). Власні частоти коливання стрижня наступні:

, (8.28)

або (8.28а)

де – фазова швидкість поширення поперечної чи поздовжньої хвилі в матеріалі стрижня, - частота коливань.

В закріпленій в обох кінцях струні вузли коливань будуть в точках закріплення струни

, (8.29)

Відповідно циклічна частота, що відповідає можливим стоячим хвилям:

(8.30)

Частоти коливань струни називають власними частотами:

(8.31)

Усі власні частоти кратні , яку називають основною частотою. Власні частоти називаються гармоніками.

Подібний результат можна отримати і для поширення поздовжніх коливань у розглянутому вище однорідному стрижні або стовпі рідини чи газу довжиною . У цьому випадку напрямок пружних коливань частинок речовини співпадає з напрямком поширення прямої та відбитої хвиль . Нехай джерело коливань (джерело біжучої прямої хвилі) перебуває у площині . У даній площині є пучність коливань, а у протилежному кінці проміжку довжиною відбувається відбивання біжучої хвилі і при є вузол коливань. У стоячій хвилі у проміжок довжиною повинна вкладатись непарна кількість , тобто . Власними частотами коливань у стоячій хвилі даної конфігурації є частоти:

, 1,2,3,... (8.28а)

і відповідне рівняння коливань, аналогічне (8.24):

Проаналізуємо останній вираз при (тобто, при . Для цього знайдемо вирази і побудуємо графіки для амплітуд коливань , максимальних швидкостей частинок , кінетичних та потенціальних енергій частинок. Пам’ятаємо, що зміщення частинок при коливаннях відбувається у напрямку і амплітуда коливань запишеться:

.

Відповідно, швидкість частинок

,

а тому .

Максимальна кінетична енергія частинок:

,

а максимальна потенціальна енергія частинок середовища у полі пружних сил:

.

Відзначимо, що коливання та в часі проходять таким чином, що при фіксованому :

В точках повна енергія коливань дорівнює нулю, бо у цих точках незалежно від амплітуда коливань, а тому і швидкість руху частинок, дорівнюють нулю.

8.7 Дифракція хвиль

Дифракцією називають сукупність явищ, пов’язаних із поширенням хвиль у середовищі з наявними у ньому перешкодами чи неоднорідностями скінчених розмірів. Зокрема, одним з проявів дифракції є огинання хвилею перешкод, розміри яких сумірні з довжиною хвилі.

Пояснення дифракційних явищ базується на принципі Гюйгенса - Френеля, суть якого полягає у тому, що довільна точка фронту хвилі є джерелом вторинної хвилі, вторинні ж хвилі когерентні і можуть інтерферувати.

Принцип Гюйгенса - Френеля дозволяє пояснити поширення хвиль довільної фізичної природи в ізотропних, неоднорідних та анізотропних середовищах, а також отримати математичні вирази для закономірностей, що характеризують відбивання і заломлення хвиль на межі двох середовищ.

8.8 Звукові хвилі

Звуковими хвилями називають пружні хвилі з частотою коливань в межах від 16 Гц до 20000 Гц, що поширюються у суцільних середовищах і можуть сприйматися вухом людини. Пружні хвилі, частота коливань у яких більша за 20000 Гц, називають ультразвуковими, а пружні хвилі, частота яких менша за 16 Гц – інфразвуковими. Розділ фізики, у якому вивчають закономірності збудження, поширення, сприймання звукових хвиль та їх взаємодію з речовиною, називають акустикою.

Швидкість поширення звукових хвиль в різних середовищах визначається пружними властивостями середовища і не залежить від частоти коливання у хвилі. Нагадаємо, що у твердих тілах поширюються поздовжні і поперечні звукові хвилі, швидкості поширення яких даються виразами (8.14) та (8.17):

, .

У рідинах і газах поширюються лише поздовжні хвилі, швидкості поширення яких даються виразами (8.15): і, зокрема для газів,(8.15) може бути зведений до вигляду: , тобто (8.16).

Ділянку середовища, у якій поширюються звукові хвилі, називають звуковим полем. При поширенні звукових хвиль має місце перенесення енергії у напрямку їх поширення. Інтенсивністю або силою звуку називають величину, що чисельно дорівнює середній енергії , яку переносить звукова хвиля через одиничну площадку , перпендикулярну до напрямку поширення звукової хвилі, за одиницю часу:

(8.32)

Мінімальну силу звуку, яку ще може сприйняти вухо людини, називають порогом чутності. Поріг чутності для людського вуха залежить від частоти коливань. Найбільша чутливість вуха людини є у діапазоні частот 1000-3000 Гц. Для об’єктивної оцінки, незалежної від чутності вуха конкретної людини, за поріг чутності вибрана величина , достатньо близька до реального порогу в згаданому діапазоні частот.

Силу звуку, вище якої втрачається відчуття звуку і настає больове відчуття, називають порогом больового відчуття. На рис. 54 показано залежність порогу чутності і порогу больового відчуття від частоти звукових коливань.

Область інтенсивностей звуку, обмежену наведеними кривими, називають областю чутності. З рис. 54 видно, що людське вухо слабо відчуває зміну . А тому, оскільки значення , наведені на рис. 54 суттєво (на декілька порядків величини) відрізняються між собою, зручно ввести величини, що є логарифмами від . Для цього вводять поняття рівня сили звуку (фізіологічно: рівень гучності):

, (8.33)

де , – коефіцієнт пропорційності.

Вибір коефіцієнта довільний. Якщо взяти , то рівень сили звуку виразиться в одиницях, що називають „Бел”. На практиці використовують і тоді вираз (8.33) записується у вигляді:

(8.34)

Одиницею рівня сили звуку при даному записі буде величина децибел (дБ), яка у 10 разів менша за Бел.