Властивості двоїстих оцінок

Співвідношення (7) дає підстави рахувати, що двоїсті змінні (тіньові ціни) мають вартісне походження. Дійсно, значення вимірюється у грошових одиницях, тому природно вимірювати значення також у грошових одиницях. Так як b_i – кількість ресурсу, то величина y_i має інтерпретуватися як вартісна оцінка одиниці відповідного ресурсу.

Співвідношення (7) показує, що в оптимальному плані сумарний випуск підприємства (величина доходу) збігається з витратами виробничих ресурсів, обчисленими в їх тіньових цінах. Звідси формулюється перша властивість оптимальних оцінок: оцінки виступають як інструмент балансування витрат і результатів.

Економічний сенс першої теореми подвійності такий. План виробництва Х і набір оцінок ресурсів Y виявляються оптимальними тоді і тільки тоді, коли прибуток від реалізації продукції, визначений при відомих заздалегідь цінах продукції, дорівнює витратам на ресурси по «внутрішнім» цінам ресурсів.

Співвідношення (8) показує, що якщо i-ий виробничий ресурс є недефіцитним (тобто вираз в круглих дужках не дорівнює нулю), то його тіньова ціна дорівнює нулю; дефіцитний же ресурс має позитивну оцінку. Чим гостріше дефіцитність ресурсу, тим вище його оцінка. Це співвідношення породжує другу властивість оптимальних оцінок: оцінки виступають як міра дефіцитності ресурсів і продукції.

Дійсно, ресурс, запаси якого перевищують потреби в ньому (з погляду оптимального плану), не представляє цінності для виробництва: деяке скорочення запасів такого ресурсу не зменшить можливості виробництва. Тому оцінку такого ресурсу природно прийняти рівною нулю.

Співвідношення (9) показує, що якщо j-й продукт є беззбитковим, тобто x_j> 0, то величина результату від його виробництва збігається з витратами виробничих ресурсів, обчисленими в тіньових цінах ресурсів:

В іншому випадку, тобто якщо результат випуску продукції менше оцінки витрачених ресурсів, виробництво цього продукту оптимальним планом не передбачається. Звідси третя властивість оптимальних оцінок: оцінки виступають як інструмент визначення ефективності випуску продукції (або окремих технологій).

Роль оптимальних оцінок не обмежується тим, що вони можуть трактуватися як оцінки, що дозволяють зіставити витрати з результатом. Якщо задача розв’язана, то цікаво і важливо знати, як вплинуть на величину оптимуму збільшення (або зменшення) запасу того чи іншого ресурсу. Відповідь на це питання дозволяє отримати четверта властивість оптимальних оцінок: оцінки виступають як міра впливу зміни правих частин обмежень (обсягу ресурсу) на величину оптимуму (максимального доходу). Ця властивість випливає з третьої теореми подвійності і дозволяє оцінити внесок кожної додаткової одиниці ресурсів у досягнення спільної мети. Оцінка y_i, обумовлена співвідношенням (10), показує приріст величини цільової функції (максимального доходу) при збільшенні запасу i-го ресурсу на одиницю.

Слід зауважити, що мова йде про досить малий приріст ресурсів, так як зміна величини b_i в деякий момент викликає зміну базисного набору змінних вихідної задачі, що тягне за собою зміну величини оцінки y_i.

Властивості оптимальних оцінок широко використовуються при економічному аналізі результатів розв’язання задач лінійного програмування і при розробці відповідних рекомендацій.