Порядок исследования функции на экстремум. 1. Находим область определения функции.
1. Находим область определения функции.
2. Вычисляем первую и вторую производные функции.
3. Определяем критические точки.
4. Вычисляем значения второй производной в критических точках
5. Делаем выводы о наличие точек экстремума.
6. Вычисляем сами экстремумы функции, т.е. значения функции в точках экстремума.
10.5
График функции называется выпуклым (вогнутым) на интервале , если соответствующий участок кривой расположен ниже (выше) касательной, проведённой в любой точке этого графика (Рисунок 10.1).
Точка графика дифференцируемой функции называется точкой перегиба, если при переходе через эту точку график меняет выпуклость на вогнутость или наоборот.
Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, так как с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой – над нею.
Теорема (достаточное условие выпуклости и вогнутости функции). Если во всех точках интервала вторая производная функции отрицательна, то есть , то кривая на этом интервале выпуклая; если , то кривая на этом интервале вогнутая.
Доказательство.Возьмем в интервале произвольную точку и проведем в этой точке касательную. Пусть уравнение кривой
, (10.3)
уравнение касательной
. (10.4)
Из (10.3) и (10.4) следует . Применяя теорему Лагранжа к разности , получим , где лежит между и , или
.
Применяя теорему Лагранжа к разности , получаем
, (10.5)
где лежит между и .
Если , тогда . Так как и по условию , то .
Если , тогда . Так как и по условию , тогда из (10.5) следует .
Таким образом, доказали, что любая точка кривой лежит ниже касательной для любых и из , то есть кривая выпукла.
Аналогично доказывается вторая часть теоремы.
Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Пусть кривая определяется уравнением . Если или не существует и при переходе через значение производная меняет знак, то точка кривой с абсциссой есть точка перегиба.
Замечание. Внутренние точки области определения функции, в которых или не существует называют критическими точками второго рода.
Доказательство. Пусть при и при . Тогда при кривая выпукла, а при - вогнута. Следовательно, точка кривой с абсциссой есть точка перегиба.
Пусть при и при , то при кривая вогнута, при кривая выпукла, то есть точка кривой с абсциссой - точка перегиба.
Рассмотренные теоремы в этом пункте позволяют сформулировать
Дата добавления: 2015-08-21; просмотров: 1067;