Порядок исследования функции на возрастание и убывание.

1. Находим область определения функции.

2. Вычисляем производную функции.

3. Определяем критические точки.

4. Область определения функции разбиваем критическими точками на промежутки и определяем знак производной на каждом полученном промежутке (с помощью метода интервалов).

5. Делаем выводы о возрастании и убывании функции.

Говорят, что функция имеет в точке максимум (минимум), если существует такая окрестность этой точки , что для всех из этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство .

Точки максимума и минимума функции называется точками экстремума. Значения функции в точках экстремума называются экстремумами функции. По определению максимумы и минимумы функций могут достигаться лишь внутри области определения. Максимумы и минимумы в отличие от наибольшего и наименьшего значений – это локальные понятия.

Теорема (необходимое условие экстремума).Если дифференцируемая в интервале функция имеет в точке экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю, т.е. _.

Доказательство.Предположим для определенности, что в точке функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых по абсолютной величине приращениях : , то есть .Тогда при ; при .

По определению производной . Если имеет производную при , то предел не зависит от того, как стремится к нулю. Но если , оставаясь отрицательным, то . Если , оставаясь положительным, то . Два последних неравенства совместимы, если . Аналогично доказывается для минимума.

Замечание 1. Это лишь необходимое условие.

Например, для функции , но в точке экстремума нет.

Необходимое условие экстремума позволяет выделить точки «подозрительные» на экстремум, т.е. круг точек, которые следует исследовать на экстремум с помощью достаточных условий. Точки, для которых необходимое условие не выполнено не могут быть точками экстремума.

Выделяют два достаточных условия экстремума функции, одно из них использует производную первого порядка, а второе – производную второго порядка.

Теорема (первое достаточное условие существования экстремума). Пусть функция непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки ). Если при переходе через эту точку производная меняет знак с «+» на «-» (с «-» на «+») в направлении возрастания аргумента, то функция имеет в этой точке максимум (минимум).