Примечание. В конце этой лекции в Дополнениях 2.1 и 2.2 к главе 1 показывается расчет кинематических характеристик точки на примере цилиндрических координат (§6) и

В конце этой лекции в Дополнениях 2.1 и 2.2 к главе 1 показывается расчет кинематических характеристик точки на примере цилиндрических координат (§6) и сферических координат (§7).

Дополнения к лекции 4 по главе 1 «Кинематика точки»

1. Дополнения к §5

§5. Задание движения материальной точки
в криволинейных координатах

1.1. Дополнение 1 к §5

7º. Союзная система координат и ее связь с основной. Ковариантные координаты вектора

Поясним смысл терминов «ковариантные» и «контравариантные» координаты, которые введены в§5 в пункте 7.

В указанном пункте доказали формулу (1.5.23):

. (1.5.23)

где

, , — координаты вектора в союзной системе,

, , — координаты этого же вектора в основной
системе,

— матрица метрических коэффициентов
основной системы.

Из (1.5.23) заключаем, что имеет второй смысл.

Она является матрицей перехода от основной системы к союзной системе координат.

Заметим, что основное правило, по которому осуществляется расчет координат вектора в любой новой системе координат по координатам этого вектора, известным в некоторой фиксированной аффинной системе, является соотношение вида

, (1.5.24)

где

— координаты вектора в «новой системе» координат,

, , — координаты вектора в заданной
(фиксированной, «старой») системе,

— неособая матрица, называемая матрицей перехода от
«старой» системы к «новой» системе координат.

Фиксируем неособую матрицу .

Будем говорить, что координаты любого вектора согласованно изменяются по отношению к его координатам , , заданным в фиксированной основной системе координат, если они рассчитываются по формуле (1.5.24).