Дополнение 1 к главе 1
§6. Кинематические характеристики точки
в цилиндрических координатах.
Определим кинематические характеристики точки в цилиндрических координатах.
Как показано в §5, связь цилиндрических и декартовых координат задается формулами
, 
, 
, 
. (1.6.1)
Полагаем
, 
, 
.
1. Вычислим базис криволинейных координат в произвольной точке 
, 
.
Для этого находим коэффициенты Ламе:
.
Подставляя формулы (1.6.1) для 
:
, , , , (1.6.1)
и вычисляя производные по 
, получим
.
Аналогично вычисляются 
, 
:
, 
.
А тогда легко находим базисные векторы:
,
,
.
( 
)
( 
)
( 
)
Рис. 1.6.1.
Направления векторов 
показаны на рис.1.6.1.
2.Непосредственным вычислением 
и 
для 
легко показать, что векторы 
образуют ортонормированный базис, т.е. цилиндрическая система координат — это ортогональная криволинейная система координат.
3. Вычислим скорость 
в проекциях на орты .
Поскольку цилиндрическая система координат ортогональная, то
, 
, 
.
А тогда, поскольку 
, получаем
,
,
,
,
.
Из последней формулы легко находятся направляющие косинусы 
в декартовой системе координат 
,
,
.
4. Вычислим ускорение 
в проекциях на орты 
.
Применим формулу Лагранжа.
Для этого определим функцию 
:
.
Отсюда находим
, 
.
Согласно формуле Лагранжа имеем
.
Следовательно,
.
Проведя аналогичные расчеты для координат 
и 
, получим:
· для координаты
, 
,
,
или
,
· для координаты
, 
,
или
.
Тогда для 
будем иметь
.
Направляющие косинусы в системе будут выражаться по формулам:
,
,
.
Формулы для направляющих косинусов вектора 
и вектора получены проектированием на орты 
векторов
;
.
Дата добавления: 2015-08-21; просмотров: 1000;