Алгебраическое дополнение.

Поставим в соответствие каждому элементу матрицы (1.1) некоторое число – его алгебраическое дополнение.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется определитель -го порядка, получаемый из вычеркиванием -й строки и -го столбца, взятый со знаком «+», если сумма четная, и со знаком «–», если эта сумма нечетная.

Пример 1.4а. Найти алгебраические дополнения к элементам матрицы второго порядка.

Решение. Запишем матрицу в общем виде: . Тогда

Пример 1.4б. Найти алгебраические дополнения к элементам первой строки матрицы .

Решение.

Свойства определителей. (Здесь и далее строки и столбцы в общем будем называть рядами.)

. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

. Определитель, содержащий два пропорциональных ряда, равен нулю.

. Общий множитель элементов какого-либо ряда можно вынести за знак определителя.

. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число.

. (Правило своих дополнений.) Определитель равен сумме произведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения.

. (Правило чужих дополнений.) Сумма произведений элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

. .

. .

Пример 1.5а. Используя правило своих дополнений, вычислить определитель матрицы .

Решение. Применим свойство , например, к первой строке: . С учетом результатов примера 1.4б, получим:

.