Числовые множества.

– множество натуральных чисел;

– множество целых чисел;

– множество рациональных чисел;

I – множество иррациональных чисел – нерациональные числа, которые можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби;

– множество действительных чисел.

Числовые промежуткипредставляют собой подмножества множества :

отрезок ;

интервал ;

полуинтервалы , ;

бесконечные промежутки , , , , .

III. Основные алгебраические соотношения

Действия со степенями и логарифмами

Формулы сокращенного умножения

Корни квадратного уравнения

Разложение квадратного трехчлена на множители

, где – корни уравнения .

Выделение полного квадрата в квадратном трехчлене

.

IV. Основные тригонометрические соотношения рис

Сумма и разность двух аргументов

Двойные аргументы

Формулы понижения степени

Преобразование произведения в сумму

Преобразование суммы и разности в произведение

Некоторые значения тригонометрических функций

Тригонометрические уравнения

Раздел 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

§1. МАТРИЦЫ

 

Основные понятия. Сложение, вычитание, произведение матрицы на число, произведение матриц

Числовой матрицей называется квадратная или прямоугольная таблица чисел. Общая форма записи

.

Здесь

– элемент матрицы, стоящий на пересечении - й строки и - го столбца;

– число строк, – число столбцов; – размер матрицы.

Например, матрица имеет размер , а ее элемент, стоящий во второй строке и первом столбце .

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нуль-матрицей:

.

В случае матрица называется квадратной порядка , ее элементы – составляют главную диагональ.

Квадратная матрица, главная диагональ которой состоит из «1», а остальные элементы – «0» называется единичной:

.

Линейные операции (сложение, вычитание, умножение на число) выполняются поэлементно:

Сложение и вычитание матриц возможно, если они имеют одинаковый размер, т.е., например, невозможна операция

.

Произведение матрицы-строки на матрицу-столбец примем по определению:

.

Знак означает, что нужно суммировать стоящие под ним элементы, последовательно придавая в них индексу значения , т.е.

.

Произведение матрицы на матрицу определим как матрицу , каждый элемент которой вычисляется по правилу умножения - ой строки матрицы на -й столбец матрицы . (Формально )

Пример 1.1. Найти матрицу , если .

Решение.

Ответ: .

Замечания.

- умножение матриц выполнимо, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй (например, операция в условиях приведенного примера невозможна);

- вообще, . Если , такие матрицы называются перестановочными. (Докажите самостоятельно, что если матрицы перестановочны, то они квадратные.)

Матрица, получаемая из данной матрицы заменой строк столбцами с теми же номерами, называется транспонированнойк и обозначается .

Например, транспонируя матрицу , получим: .

Свойства(при условии, что операции в обеих частях равенств выполнимы)

Элементарными преобразованиями матрицы называются:

- перестановка местами параллельных рядов;

- умножение ряда на ненулевое число;

- прибавление ко всем элементам ряда соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число (далее будем говорить кратко: прибавление к ряду параллельного ряда, умноженного на некоторое число).

Две матрицы называются эквивалентными(обозначается ), если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований.

Будем называть «трапециевидной» матрицу, у которой под элементами с одинаковыми индексами – нули:

или или .

Пример 1.2. Элементарными преобразованиями над строками привести к «трапециевидной» матрицу .

Решение. Чтобы обнулить соответствующие элементы в первом столбце, прибавим ко 2-й строке 1-ю, умноженную на (-1), и к 3-й строке –1-ю, умноженную на (-2):

.

Осталось поменять местами 2-ю и 3-ю строки:

.

Таким образом,

.