Формула для гармонически спряженной функции
Предположим, что
,
тогда
где, sign 0=0
В самом деле, функция Û(reiѲ) гармонична в единичном круге, Û(0)=0
Кроме того
аналитическая функция в единичном круге
Теперь, если
где мера на [-π;π], то в вышеприведенном разложении функции U в ряд . Рассматривая разложение в ряд для Û, видим, что
назовем
сопряженным ядром Пуассона. непосредственным суммированием двух геометрических прогрессий найдем, что
Таким образом справедлива теорема
Теорема Если , то гармонически спряженная U функция Û задается формулой
Интегральное представление классов
Важную роль в изучении классов играет интегральное представление функций из этих классов.
Сначала докажем следующее утверждение:
Теорема .Пусть где – класс Соболева в . Если при этом существует такое число , что и при , то при всех справедливо представление
(2.5)
где, как обычно,
Доказательство. Пусть фиксировано, положим
Тогда, записав формулу Коши-Грина для функции (см. [31]), имеем:
Используя условие теоремы, получаем:
Упростим подынтегральное выражение:
Следовательно, из равенства (2.5) имеем:
Положив , получаем:
□
Из данной теоремы непосредственно следует:
ТеоремаПусть . Тогда если или то справедливо представление
Доказательство непосредственно следует из теоремы 2.3, если учесть, что , при этом в условиях теоремы при .
□
Из интегрального представления классов вытекает:
Теорема. Пространство при относительно нормы
является банаховым, а при – квазибанаховым пространством.
Доказательство. Пусть . Обозначим через пространство измеримых в функций , для которых соответствующий интеграл конечен.
Хорошо известно, что пространство при банахово, а при квазибанахово. Поэтому достаточно установить, что является замкнутым подпространством пространства при всех .
Предположим, что – последовательность из , а функция такая, что при .
Докажем, что . Используя оценку (2.1), имеем:
.
Отсюда следует, что последовательность равномерно сходится внутри к некоторой функции . Учитывая теорему Ф. Рисса (см. [17]), нетрудно подобрать подпоследовательность такую, что почти всюду в . Поэтому почти всюду в , и следовательно, . □
Дата добавления: 2015-08-14; просмотров: 627;