Бесконечные функциональные произведения, равномерная сходимость. Бесконечные произведения Бляшке

А. Произведение Бляшке

Если .., и бесконечное произведение

сходится для |z|< 1, то оно представляет некоторуюфунк­цию, аналитическую в единичном круге; она называется про­изведением Бляшке. Можно даже допустить равенство конечного числа чисел z_n нулю - просто в этом случае множители, соответствующие заменяются на z.

Имеем

откуда

следовательно, рассматриваемое бесконечное произведение сходится при z = 0 тогда в только тогда, когда

Но если , то по той же только что най­денной формуле

при |z|<1; поэтому бесконечное произведение сходится в {\z\ < 1}, если . Таким образом,

сходится в {|z|<1} тогда и только тогда, когда .