Формула Коши

Теорема. Пусть D — область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей , функция f(z) — голоморфна в и — точка внутри области D. Тогда справедлива следующая формула Коши:

Док-во

. Г

 

 

Рассмотрим окружность Sρ достаточно малого радиуса ρ с центром в точке z0. В области, ограниченной контурами Γ и Sρ подынтегральная функция не имеет особенностей и по интегральной теореме Коши интеграл от неё по границе этой области равен нулю. Это означает, что не зависимо от ρ имеем равенство:

Для расчёта интегралов по Sρ применим параметризацию. , φ Є
Сначала докажем формулу Коши отдельно для случая f(z) = 1:

Воспользуемся ею для доказательства общего случая:

 

 

=

 

Так как функция f(z) комплексно дифференцируема в точке z0, то:

Интеграл от равен нулю:

 

Интеграл от члена o(1) может быть сделан сколь угодно мал при . Но поскольку он от ρ вообще не зависит, значит он равен нулю. В итоге получаем, что

 








Дата добавления: 2015-08-14; просмотров: 705;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.003 сек.