Интегральное представление гармонических функций

Пусть – множество всех гармонических в функций; , то есть

В этом параграфе мы построим аналог представления (2.6) для функций из класса . Сначала заметим, что из (2.6) непосредственно следует представление

Действительно, если , то по формуле (2.6)

. (7)

Но нетрудно увидеть, что

. (8)

Поэтому, суммируя равенства (7) и (8), окончательно получим:

Следовательно,

. (9)

Формула (9) является аналогом формулы Шварца для классов Харди Из (9) непосредственно вытекает:

. (10)

Суммируя формулы (9) и (10), получим:

(11)

Положим

, ;

тогда из (11) имеем:

или

Но учитывая, что , окончательно получаем следующее утверждение:

Теорема 6. Пусть . Тогда справедливы следующие представления

а) ,

где .

б)

4. Ограниченные проекторы в пространствах и при

Рассмотрим интегральный оператор в с ядром

Очевидно, что – аналитическая функция в для произвольной функции , при условии, что , где

В этом параграфе мы дадим полную характеризацию тех , для которых справедливо представление (2.7) при некотором . С этой целью сначала докажем следующее элементарное утверждение.

Пусть, как и прежде, , где , при этом , также .

Лемма 1. Пусть , при этом , тогда справедливы оценки:

а) при всех .

б) .

Напомним, что .

Доказательство. Положим

где . Учитывая тождество

и равенство

легко установить оценку

при .

Поэтому

Положим

Очевидно,

Нетрудно заметить, что

Интегрируя по частям в последнем интеграле, получаем:

Отсюда, учитывая что , выводим:

или

то есть

. (2.12)

Перейдём к оценке . Проводя аналогичные рассуждения, получаем:

Интегрируя в последнем интеграле по частям, приходим к равенству

то есть

Отсюда, учитывая, что , окончательно получаем:

(13)

Объединяя оценки (12) и (13), приходим к первому утверждению леммы. Теперь докажем неравенство б). В силу леммы 1 имеем:

Повторяя рассуждения части а) доказательства, приходим к оценке

. □

Следующее утверждение известно как тест Шура

Теорема 7. Пусть – -измеримое множество с неотрицательной мерой на , – неотрицательная функция на , оператор определён на множестве -измеримых функций следующим образом

причём функция такая, что интеграл сходится к почти всюду.

Тогда если и существуют строго положительная -измеримая функция на и число такие, что

(14)

, (15)

где , то оператор является ограниченным оператором на , причём

Доказательство. Фиксируем функцию . Используя неравенство Гёльдера, имеем:

С помощью неравенства (14) получаем

Откуда

Теперь, применяя теорему Фубини и меняя порядок интегрирования, получаем:

Далее, учитывая неравенство (15), окончательно выводим:

то есть . □

Теорема 8.Пусть , тогда оператор

(16)

отображает пространство на пространство .

Доказательство. Утверждение о том, что каждая функция из класса допускает представление (16), непосредственно следует из теоремы 4.

Остаётся установить, что при каждой функция принадлежит классу . Докажем указанное утверждение сначала при . Из равенства (16) имеем:

Изменив порядок интегрирования, получили:

Теперь, учитывая лемму 1, имеем:

Теорема доказана при .

Теперь предположим . В этом случае применим теорему 7 и лемму 1. Докажем, что если

, то все условия теоремы выполнены.

Действительно, условия (14), (15) непосредственно следуют из неравенств а), б) леммы 1. Следовательно, все условия теоремы 7 выполнены. □

Точно таким же образом устанавливается

Теорема 9. Пусть и , тогда оператор

отображает пространство на пространство .

Следующая теорема играет существенную роль при описании линейных непрерывных функционалы на пространствах .

Теорема 10.Пусть , , . Тогда оператор

, ,

отображает пространство в пространство где , .

Доказательство. Как и прежде, положим , , . Тогда, применяя неравенство Гёльдера, получим:

. (2.17)

По лемме 2.1 отсюда имеем:

, .

Умножая последнее неравенство на , интегрируя по и учитывая последнюю оценку, выводим:

Преобразуя подынтегральное выражение первого интеграла, получим:

, .

Поэтому из оценки (2.17) имеем:

Снова используя лемму 2.1, окончательно получаем:

. □

5. Оценки гармонически сопряжённых функций в -пространствах при

Знаменитая теорема М. Рисса утверждает, что если и – взаимно сопряжённые гармонические функции, причём , то при справедлива оценка , где

зависит только от , причём , если или .

В этом параграфе нас интересует аналог оценки М. Рисса в -пространствах.

Ясно, что при из теоремы М. Рисса непосредственно следует . Однако хорошо известно, что, несмотря на это, при соответствующая оценка неверна.

Мы докажем, что оператор гармонического сопряжения является ограниченным в при всех .

Лемма 2. Пусть – гармоническая функция в некотором круге и . Тогда при всех справедлива оценка

, (18)

где зависит только от .

Доказательство. Если , то оценка непосредственно следует из теоремы о среднем и неравенства Гёльдера. Остаётся доказать лемму при . Не ограничивая общности, можно предположить, что , а . Как и прежде, обозначим через интегральные средние от функции, то есть

Не ограничивая общности, будем предполагать также, что

В этих предположениях, если при некотором , то лемма будет следовать из принципа максимума, при этом .

Поэтому будем предполагать, что при всех . Поскольку , то

Записывая представление Пуассона для функции по окружности , получаем:

то есть

. (19)

Пусть теперь – произвольное число, такое, что . Тогда из оценки (19) непосредственно имеем:

.(2.20)

Первый интеграл, очевидно, сходится и равен некоторой константе . Оценим второй интеграл в (20). Ясно, что

Следовательно, из неравенства (19) получаем:

. (21)

Поскольку по предположению , , то

Но заменив , последний интеграл можно записать в виде

Следовательно, неравенство (21) преобразуется в

Теперь подбирая параметр таким образом, чтобы , из последней оценки получаем:

то есть

Тогда неравенство (18) следует из принципа максимума. Что и требовалось доказать. □

Лемма 3. Пусть – гармоническая функция в такая, что

то есть , . Тогда

Доказательство. Пусть , . Применяя лемму 2 к функции по кругу , получим:

Остается положить и повторить рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 1. □

Лемма 4. Пусть , , – гармонически сопряженная функция с , . Тогда при всех , где , справедлива оценка

(22)

Доказательство. Пусть . Тогда имеем

Поэтому

, (23)

где, как и прежде,

Теперь используя лемму 3, из оценки (23) получим:

Положим , тогда , , и поэтому

Чтобы получить оценку (2.22), достаточно применить следствие 1.1, согласно которому при всех , . То есть

Напомним, что . Из последнего неравенства немедленно следует утверждение леммы. □

В дальнейшем существенную роль сыграет следующее диадическое разбиение единичного круга . Пусть , где – множество неотрицательных целых чисел,

, ,

При этих же , положим – криволинейный прямоугольник с центром, совпадающим с центром , и расширенный 4/3 раза.

Ясно, что система диадических прямоугольников покрывает единичный круг однократно, причем и пересекаются только, возможно, границами, если . Система покрывает конечнократно.

Справедливо следующее утверждение:

Теорема 10.Пусть . Тогда справедлива оценка

Доказательство. Сначала установим оценку

(24)

Пусть – произвольная точка из , , . Тогда из леммы 2.3 имеем:

или

Положив и заметив, что при всех

по теореме 2.1 будем иметь:

откуда приходим к оценке

Учитывая последнее неравенство, в итоге получаем:

. (25)

В неравенстве (25) мы учитывали, что для произвольного . Суммируя неравенства (25) по и , выводим:

, , .

Здесь мы учли, что последовательность покрывает конечнократно. □

Теорема 11.Пусть , , , – гармонически сопряженная функция с . Тогда

а) , и если , то

, .

б) Если , , то линейный интегральный оператор

при всех отображает на . При этом

, .

Доказательство. Сначала заметим, что если , где – оператор гармонического сопряжения, то по лемме 2.4 при , где совпадает с при , . Этому же классу принадлежит функция . Поэтому функция принадлежит классу .