Свойства суммируемости гармонических функций, заданных формулой Пуассона
Сначала получим некоторые грубые результаты, достаточные для многих рассмотрений.
Ядро Пуассона
обладает следующими свойствами:
а) Рr(φ)>0, r< 1;
b)Рr(φ+2π)= Рr(φ)
с) для любого r<1.
Свойства а) и b) очевидны, а с) следует из разложения в ряд для Pr(φ).
Если то удобно считать, что функция F периодически продолжена на всё множество R: F(t+2π)=F(t). Отныне будем это предполагать.
Теорема. Если p≥l, , a , то функция U(z) — гармоническая в круге {|z|<1}
Доказательство.
Пусть . Тогда для 0 ≤r < 1 имеем
Непосредственно проверяется, что функция U(z) гармонична в {|r|< 1}, так как ряд сходится равномерно во внутренности круга. (Если функция F—вещественная, то ряд, очевидно, является вещественной частью аналитической функции, которая легко выписывается.)
Для данного r < 1 в силу свойства b) и 2π-периодичности функции F мы можем, кроме того, записать
.
Возьмём теперь ,||G||q=1, так что (для любого фиксированного r; функция G, конечно, будет зависеть от r)
.
По теореме Фубини интеграл справа равен
что по модулю не превосходит
(в силу выбора G и свойства с)).
Наконец,
что и требовалось доказать
Теорема. Пусть μ — конечная вещественная мера на [-π,π]. Тогда функция
гармонична в {|r|< 1} и
.
Доказательство.
Гармоничность устанавливается так же, как и выше. Пусть дано r, и пусть функция , = 1, такова, что
-п
Интеграл в правой части по теореме Фубини равен
и в силу а)—с) по модулю не превосходит
Вот и всё.
Дата добавления: 2015-08-14; просмотров: 698;