Управляемость и наблюдаемость.

Рассмотрим два фундаментальных свойства систем управления, которые имеют такое же большое значение, как и свойство устойчивости. Первое из них связано с возможностью перевода системы из любого начального состояния в любое другое заданное состояние, а второе – с возможностью определить состояние системы по управляемой величине и управляющему воздействию.

1. Управляемость.

Определение управляемости. Система (управляемая система или объект) с уравнением состояния

(1)

является полностью управляемой, если существует управляющий сигнал _f , который переводит систему из нулевого начального состояния х(0)=0 в момент t₀=0в любое другое состояние х(t_f)за конечное время t_f.

Состояние системы в текущий момент времени t можно изобразить с помощью точки М в пространстве состояния. Под пространством состояния понимаем пространство, осями которого являются переменные состояния.

Здесь точка М – изображающая точка.

Изменение положения изображающей точки – это переход системы из одного состояния в другое.

Нетрудно показать, что если система полностью управляемая, то ее при некоторых допущениях можно перевести из любого начального состояния в любое другое состояние. Это свойство системы называют достижимостью.

Управляемость – частный случай достижимости.

На рисунке выше дана геометрическая интерпретация свойств управляемости и достижимости.

Теорема Калмана. (О полной управляемости).

Для полной управляемости системы, описываемой уравнением (1), необходимо и достаточно, чтобы матрица управляемости (блочная матрица)

(2)

имела ранг, равный n, где n – порядок системы: . Матрица U имеет размерность ( ), так как каждый блок имеет размерность , а всего n блоков ( столбцов).

Если существует хотя бы один минор n-го порядка матрицы U , то . Минор n-го порядка – определитель матрицы U, составленный из n произвольных столбцов матрицы U.

Для системы с одним входом, т.е. если , то U – квадратная матрица и имеет единственный минор n-го порядка, который совпадает с определителем матрицы . При этом условие полной управляемости для r=1:

,

то есть матрица управляемости должна быть невырожденной.

Пример. Для двойного интегратора

,

где k – коэффициент усиления двойного интегратора.

Является лидвойной интегратор полностью управляемым, и при каких условиях?

В данном случае n=2, . Следовательно, в соответствии с (2) матрица управляемости двойного интегратора

,

так что

.,

Следовательно, , если . Это и есть условие полной управляемости двойного интегратора.

Команды Matlab: U=ctrb(A,B); r=rank(U).

Замечание 1. Физический смысл свойства полной управляемости заключается в том, что управление оказывает влияние на каждую из переменных состояния , . При этом можно изменять положение изображающей точки произвольно с помощью соответствующего управления.

Замечание 2. Является ли система полностью управляемой можно определить с помощью операционной структурной схемы. Если на операционной структурной схеме имеются пути, ведущие от управления к каждой переменной состояния, то система является полностью управляемой.

Пример. Рассмотрим операционную структурную схему системы, представленную на рисунке ниже. Здесь , n=2.

Как видим, управление u будет оказывать влияние лишь на переменную х₁. Левая часть структурной схемы ведет себя автономно от управления u. Следовательно, система не является полностью управляемой. Если система не является полностью управляемой, то ее можно разложить на управляемую и неуправляемую части (подсистемы).

Аналитически покажем, что рассматриваемая система не является полностью управляемой. Для этого по структурной схеме найдем уравнения в переменных состояния

из которых видно, что управление u не влияет на х₂ .

Найдем A и B:

, .

Отсюда матрица управляемости

.

Как видим, , то есть система не удовлетворяет условию полной управляемости.

Замечание 3. Если система с одним входом, другими словами, при r=1, не является полностью управляемой, то ее ПФ вырождается, другими словами, ее ПФ является вырожденной ПФ, то есть порядок знаменателя ПФ будет меньше порядка системы (порядка характеристического уравнения системы).

Отсюда система с одним входом является полностью управляемой, если ее передаточная функция не содержит одинаковых сомножителей в числителе и знаменателе (сокращаемых сомножителей).

Для примера, рассмотренного в замечании 2:

, , l=1.

При этом ПФ системы

,

где характеристический многочлен

.

Следовательно, корни характеристического уравнения =0, другими словами, полюсы системы равны: .

Найдем числитель , представляющий собой скалярный многочлен

.

Итак

.

Порядок системы n=2, а порядок знаменателя ПФ равен 1, то есть передаточная функция системы вырождена. Эта система устойчива по начальным условиям, если (левые корни). Если , ( есть правый корень), то система устойчива по входу и неустойчива по начальным условиям. Другими словами, компенсация правых (неминимальнофазовых) нулей системы за счет полюсов последовательно включенной еще одной системы делает последовательное соединение не стабилизируемым.

Модель в виде ПФ может быть только частичным описанием системы.

Замечание 4. Система, описываемая уравнением (1), называется стабилизируемой, если неуправляемая часть является устойчивой по начальным условиям. Для рассмотренного в замечании 2 примера условие стабилизируемости системы: .

Свойство стабилизируемости позволяет за счет обратной связи обеспечить устойчивость замкнутой системы даже тогда, когда объект управления содержит неуправляемую часть. Включение неуправляемой части в модель системы достаточно общий случай. Это удобно для описания различных возмущающих воздействий. Например, постоянное возмущающее воздействие можно задать в пространстве состояний как .

Замечание 5. Ранг матрицы управляемости не зависит от выбора вектора состояния. Другими словами, ранг матрицы управляемости является инвариантом, т.е.

,

где

=TU

представляет собой матрицу управляемости преобразованной системы, описываемой

.