Установившаяся реакция многомерной системы.

Рассмотрим систему, описываемую в переменных состояния

Мы показали, что

y =y_св +y_вын .

Если система устойчивая по начальным условиям, то

y =y_пер +y_уст ,

причем переходной процесс y_пер затухает, т. е.

,

а установившийся процесс описывается выражением

, (*)

где - матричная весовая функция.

Рассмотрим два случая:

1. Пусть входной сигнал u(t) – векторный гармонический сигнал, записанный в показательной форме

, (1)

где постоянный вектор - векторная амплитуда гармонического сигнала, - частота гармонического сигнала.

Найдем установившуюся реакцию: y_уст - ?.

Подставим (1) в (*), получаем

,

, (2)

где матрица ( )

- матричная АФХ многомерной системы.

Так как матричная ПФ определяется как

,

то

.

Заметим, что мы не можем построить годограф для многомерной системы в отличие от одномерной, потому что - матрица.

Введем понятие скалярных АФХ. Запишем матричную АФХ в символической форме , где - (i, k)-ый элемент . Напомним, что матричная ПФ

, ,

где - скалярная ПФ, связывающая преобразование Лапласа i –го выхода с преобразованием k –го входа, так что, если , ,то

.

Следовательно, скалярная АФХ связана со скалярной ПФ как

.

Отсюда можно выяснить физический смысл скалярной АФХ: определяет установившуюся реакцию, получаемую на i-том выходе при подаче на k -й вход гармонического сигнала, при этом сигналы на остальных входах отсутствуют и система предварительно невозбуждена, т. е.

,

где

- амплитуда установившейся реакции на i-ом выходе,

- фаза установившейся реакции на i-ом выходе.

- амплитуда гармонического сигнала на k-ом входе.

2. Пусть входной сигнал u(t) - постоянный вектор

.

Найдем y_уст(t), используя (1) и (2). Так как постоянный вектор можно рассматривать как частный случай гармонического сигнала при , то установившаяся реакция

представляет собой постоянный вектор. Здесь

- матричный коэффициент усиления многомерной системы.

В символическом виде:

,

где

- скалярный коэффициент усиления.

Ранее показали, что ПФ определяется как . Следовательно, матричный коэффициент усиления

определяется посредством А, В, С.

Преобразование переменных состояния. Инварианты.

Уравнения движения линейной системы:

, , (1)

путем введения другого вектора состояния

, (2)

связанного с исходным вектором состояния x(t) с помощью невырожденной матрицы (матрицы подобия) Т размерности , можно преобразовать к виду

, , (3)

где

, , . (4)

Переход от (1) к (3) называется преобразованием подобия.

Так как матрица Т невырожденная, то и обратная матрица существует, так что . Уравнения (3) описывают ту же систему, что и исходные уравнения, т. е. преобразованные уравнения эквивалентны исходным. Эквивалентность здесь понимается следующим образом. Если на вход систем, описываемых уравнениями (1) и (3), подать один и тот же сигнал , а начальное состояние второй системы связать с начальным состоянием первой системы соотношением , то на выходе обеих систем получим одинаковый сигнал . Таким образом, выбор вектора состояния неоднозначен и вид матриц А, В, С зависят от этого выбора.

Инварианты. Определенный интерес представляют инварианты – величины и функции, которые не зависят от выбранного вектора состояния, т. е. не зависят от выбора матрицы преобразования Т. К числу инвариантов, в частности, относятся передаточная функция и характеристический многочлен системы.

a. Передаточная функция преобразованной системы равна передаточной функции исходной системы

,

что и нетрудно доказать.

b. Характеристический многочлен преобразованной системы равен характеристическому многочлену исходной системы , так что

.

Итак, характеристический многочлен инвариантен к выбору вектора состояния . Следовательно, собственные числа матрицы равны собственным числам матрицы А, т. е. , .

Отсюда собственные числа, другими словами корни характеристического уравнения системы, инвариантны к выбору вектора состояния. Таким образом, путем подбора матрицы Т нельзя неустойчивую систему превратить в устойчивую, т. е. устойчивость линейной системы не зависит от принятой формы математической модели, а является ее внутренним свойством.