Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пуассоновское приближение

Формула Пуассона.

Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и стремится к нулю, а число испытаний достаточно велико (npq<10 и p<0,1), то вероятность того, что событие А появится к раз в п независимых испытаниях приближенно равна

, (1.30)

где .

При больших значениях n , для вычисления вероятности того, что произойдет от к₁ до к₂ событий в п независимых испытаниях по схеме Бернулли, используется интегральная формула Муавра-Лапласса:

Р_n ( )=Ф(x₂) - Ф(x₁), (1.31)

где x₁ = , x₂ = , Ф(х) - функция Лапласа.

Ф(x) имеет следующие свойства:

1) Ф(-x)= -Ф(x) – функция нечетная, поэтому достаточно применять её для неотрицательных значений x:

Ф(x)= ; (1.32)

2) функция Ф(x) возрастает на всей числовой оси;

3) при x 4, Ф(x)® ( y=0,5- горизонтальная асимптота при x>0), поэтому функция представлена в виде таблицы для ;

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях не более чем на некоторое число e>0:

Р_n = 2Ф . (1.33)