Распределение молекул газа в потенциальном поле сил (распределение Больцмана). Барометрическая формула.

Если на молекулы газа не действуют внешние силы, то благодаря хаотичному движению они равномерно распределяются по всему предоставленному им объему.

Рассмотрим газ, находящийся в однородном потенциальном поле сил, например, в поле тяготения вблизи поверхности Земли. Действие силы тяжести препятствует молекулам атмосферного воздуха, окружающего Землю, разлететься по вселенному пространству. В то же время тепловое движение не позволяет молекулам воздуха скапливаться у поверхности Земли, где их потенциальная энергия минимальна. Наличие этих двух противоположных тенденций способствует установлению в атмосфере вполне определенного распределения молекул по высоте над поверхностью Земли. Найдем это распределение.

Рассмотрим вертикальный столб воздуха с основанием (рис. 2.6).

Для упрощения вывода будем считать ускорение силы тяжести и температуру воздуха постоянными, не зависящими от высоты. Обозначим давление воздуха на высоте через , а на высоте - через . При изменении высоты на давление изменяется на величину , причем, если , то ( так как давление с высотой убывает).

Давление найдем как вес столба воздуха над площадкой высотой . Если средняя концентрация молекул воздуха на высоте между и равна , то вес столба воздуха высотой с основанием равен

,

где - масса одной молекулы,

- ускорение силы тяжести.

Рис. 2.6

Найдем разность давлений: или (2.10) Из уравнения (1.16) выразим и подставим в (2.10): откуда

Интегрируем, имея в виду, что и :

или

или

(2.11)

Формула (2.11) называется барометрической. Она устанавливает закон изменения давления с высотой и позволяет вычислить давление атмосферы на высоте или наоборот, измерив давление, определить высоту.

Приборы, предназначенные для измерения высоты полета самолета, горных вершин и т.д., называются высотомерами. Они представляют собой специальные барометры, шкала которых проградуирована в метрах. Однако, в формулу (2.11) в этом случае вносят поправки, связанные с изменением температуры и ускорения свободного падения с высотой.

Так как , то уравнение (2.11) можно переписать следующим образом:

,

(2.12)

где - число молекул в единице объема на высоте

- число молекул в единице объема на высоте

Уравнение (2.12) показывает, как изменяется с высотой концентрация молекул (число молекул в единице объема).

Из формул (2.11) и (2.12) видно, что с высотой давление и концентрация молекул убывает по экспоненциальному закону. Графически это представлено на рис. 2.7.

Формулу (2.12) можно преобразовать, если вместо массы молекулы ввести молярную массу газа . Тогда, используя равенства

и

Рис. 2.7	получим: (2.13) Анализируя уравнение (2.12), можно заметить, что величина Представляет собой потенциальную энергию молекулы в поле силы тяжести на высоте . Тогда соотношение (2.12) можно переписать в виде
	(2.14)

где - концентрация молекул в том месте атмосферы, где потенциальная энергия .

Последняя формула дает распределение молекул по величине потенциальной энергии и называется распределением Больцмана. Она справедлива для поля любых потенциальных сил.