Определение ряда Фурье

Пусть произвольная периодическая функция с периодом Предположим, что функция разлагается в тригонометрический ряд, т.е. является суммой ряда

Так как функция имеет период то ее можно рассматривать в любом промежутке длины В качестве основного промежутка возьмем отрезок (также удобно взять отрезок ) и предположим, что ряд

на этом отрезке можно почленно интегрировать. Вычислим коэффициенты и для этого проинтегрируем обе части равенства в пределах от до

Интегралы от всех, кроме нулевого, членов ряда равны нулю. Отсюда

Умножив обе части равенства

на и проинтегрировав полученный ряд в пределах от до получим

Из последнего равенства при получаем

Отсюда

Аналогично, умножив равенство

на и проинтегрировав почленно на отрезке найдем

Числа называются коэффициентами Фурье функции а тригонометрический ряд

с такими коэффициентами – рядом Фурье функции Для интегрируемой на отрезке функции записывают

и говорят, что функции соответствует ее ряд Фурье. Если ряд Фурье сходится, то его сумму обозначают