Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора, Маклорена
Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, т.е. функцию
представлять в виде суммы степенного ряда.
Для любой функции определенной в окрестности точки
и имеющей в ней производные до
-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора
где
остаточный член в форме Лагранжа. Число можно записать в виде
где
Если функция имеет производные любых порядков в окрестности точки
и остаточный член
стремится к нулю при
то из формулы Тейлора получается разложение функции
по степеням
называемое рядом Тейлора
Если в ряде Тейлора положить то получим разложение функции по степеням
в ряд Маклорена
Для того, чтобы ряд Тейлора функции сходился к
в точке
необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора стремится к нулю при
т.е. чтобы
Если модули всех производных функций ограничены в окрестности точки
одним и тем же числом
то для любого
из этой окрестности ряд Тейлора функции
сходится к функции
т.е. имеет место разложение
Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена).
Для разложения функции в ряд Маклорена нужно:
1) найти производные
2) вычислить значения производных в точке
3) написать ряд
для заданной функции и найти его интервал сходимости;
4) найти интервал в котором остаточный член ряда Маклорена
при
Если такой интервал существует, то в нем функция
и сумма ряда Маклорена совпадают.
Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:
Рассмотрим пример. Разложить в ряд функцию
Так как по
то, заменяя на
получим
Область сходимости ряда
Рассмотрим пример. Разлить в ряд функцию
В разложении
заменим на
получим
Теперь
Область сходимости ряда
Дата добавления: 2015-08-11; просмотров: 2787;