Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора, Маклорена

Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, т.е. функцию представлять в виде суммы степенного ряда.

Для любой функции определенной в окрестности точки и имеющей в ней производные до -го порядка включительно, справедлива формула Тейлора

где

остаточный член в форме Лагранжа. Число можно записать в виде

где

Если функция имеет производные любых порядков в окрестности точки и остаточный член стремится к нулю при то из формулы Тейлора получается разложение функции по степеням называемое рядом Тейлора

Если в ряде Тейлора положить то получим разложение функции по степеням в ряд Маклорена

Для того, чтобы ряд Тейлора функции сходился к в точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора стремится к нулю при т.е. чтобы

Если модули всех производных функций ограничены в окрестности точки одним и тем же числом то для любого из этой окрестности ряд Тейлора функции сходится к функции т.е. имеет место разложение

Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена).

Для разложения функции в ряд Маклорена нужно:

1) найти производные

2) вычислить значения производных в точке

3) написать ряд

для заданной функции и найти его интервал сходимости;

4) найти интервал в котором остаточный член ряда Маклорена при Если такой интервал существует, то в нем функция и сумма ряда Маклорена совпадают.

Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:

Рассмотрим пример. Разложить в ряд функцию

Так как по

то, заменяя на получим

Область сходимости ряда

Рассмотрим пример. Разлить в ряд функцию

В разложении

заменим на получим

Теперь

Область сходимости ряда