Формула Грина

Связь между криволинейными и двойными интегралами устанавливает формула Грина.

Пусть некоторая простая замкнутая область (область, граница которой пересекается с прямыми параллельными осям координат, не более, чем в двух точках), ограниченная контуром и пусть функции и непрерывны вместе со своими частными производными и в данной области. Тогда имеет место формула

- это есть формула Грина.

Формула Грина остается справедливой для всякой замкнутой области которую можно разбить проведением дополнительных линий на конечное число простых замкнутых областей.

Рассмотрим пример. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл

где окружность

Функции

непрерывны в замкнутом круге

Следовательно, формула Грина применима к данному интегралу

В некоторых случаях величина криволинейного интеграла

не зависит от интегрирования, а зависит от начальной и конечной точек и пути интегрирования. При каких условиях имеет место такая независимость?

Плоская область называется односвязной, если каков бы ни был замкнутый контур лежащий внутри этой области, ограниченная этим контуром часть плоскости целиком принадлежит области Односвязность области означает, что область не имеет дыр. Например, односвязными областями являются внутренность круга, эллипса, многоугольника и так далее.

Пусть функции и определены и непрерывны вместе со своими частными производными и в некоторой замкнутой односвязной области Тогда следующие условия эквивалентны, т.е. выполнение любого из них влечет за собой выполнение остальных трех:

1) для любой замкнутой кусочно-гладкой кривой расположенной в области