Методы приближенного вычисления определенного интеграла

Понятие о приближенном вычислении определенных интегралов

Определенный интеграл

от заданной непрерывной функции точно вычисляется далеко не всегда. Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла можно дать ряд приближенных формул, с помощью которых этот интеграл находится с любой степенью точности. Рассмотрим простейшую из них, формулу трапеций.

Рис. 46

Криволинейная трапеция

Определенный интеграл

представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией осью и двумя прямыми

Разобьем отрезок на равных частей длины

Пусть абсциссы точек деления и соответствующие ординаты кривой. Имеем расчетные формулы

В результате построения криволинейная трапеция разбивается на ряд вертикальных полосок одной и той же ширины каждую из которых приближенно принимают за трапецию.

Суммируя площади этих трапеций, будем иметь

- это есть формула трапеций. Данную формулу можно записать в виде

где при и при

Ошибка

называется остаточным членом формулы трапеций.

Рассмотрим пример. Приближенно вычислить

Разобьем промежуток интегрирования на 10 частей следовательно шаг

Абсциссы точек деления и соответствующие им ординаты

вычисленные с помощью таблицы квадратных корней, сводят в таблицу. Для удобства ординаты умножают на множитель такой, что при и при

Таблица 7

	0,0	0,5000
	0,1	1,0050
	0,2	1,0198
	0,3	1,0440
	0,4	1,0770
	0,5	1,1180
	0,6	1,1662
	0,7	1,2207
	0,8	1,2806
	0,9	1,3454
	1,0	0,7071
		11,4838

Тогда, согласно формуле

получим

Точное значение интеграла равно

Контрольные вопросы

1. Перечислить геометрические приложения определенного интеграла.

2. Перечислить физические приложения определенного интеграла.

3. Сформулировать методы приближенного вычисления определенного интеграла.