Определение функции многих переменных. Область определения функции многих переменных

Если множество рассматривать как множество точек на плоскости и каждой точке поставить в соответствие определенное число то, тем самым, на множестве определяется функция которую называют функцией двух переменных.

Геометрической интерпретацией функции двух переменных служит поверхность

которую называют графиком этой функции.

Подобным образом можно определить функцию трех переменных.

Для определения функций большого числа переменных потребуется рассматривать пространства размерности

Определение мерного арифметического пространства : множество всех упорядоченных совокупностей по действительных чисел

Элементы этого множества называют точками а числа - их координатами.

Если каждой точке из множества точек пространства поставлено в соответствие по некоторому закону число то на множестве определена функция переменных

Рассмотрим примеры функций двух переменных.

Например, функция

Область определения этой функции – множество всех пар чисел т.е. вся плоскость а множество значений – промежуток

Функция

Областью определения данной функции является множество всех точек, для которых выражение определено, т.е. множество точек, для которых

Множество всех таких точек образует круг с центром в начале координат и радиусом, равным единице. Множество значений функции представляет собой отрезок

Из рассмотренных примеров следует, что областью определения двух переменных может быть вся плоскость или ее часть.

Число называется пределом функции в точке если для любого существует такое, что при всех удовлетворяющих условиям

справедливо неравенство

Если предел функции в точке то

Функция называется непрерывной в точке если справедливо равенство

Например, функция

непрерывна в любой точке плоскости, за исключением точки в которой функция терпит бесконечный разрыв.

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области называется непрерывной в данной области.

Если переменной дать некоторое приращение а оставить постоянной, то функция получит приращение называемое частным приращением функции по переменной

Аналогично, если переменная получает приращение а остается постоянной, то частное приращение функции по переменной